Свойства дискретных рядов Фурье. Периодическая свертка двух последовательностей.

Дискретные ряды Фурье, как и ряды Фурье, преобразования Фурье и Лапласа непрерывных сигналов и z-преобразование дискретных апериодических последовательностей, обладают целым рядом важных свойств, которые позволяют успешно применять их при обработке сигналов. Многие из основных свойств ДРФ аналогичны свойствам преобразования Фурье и z-преобразования. Однако ввиду периодичности последовательностей и здесь имеются и свои важные отличия. Более того, между временной частотной областями в ДРФ существует четкая действительность, в то время как ее нет ни в преобразовании Фурье, ни в z-преобразовании последовательностей.

1. Линейность. Если две периодические последовательности и с периодом, равным N, имеют коэффициенты ДРФ и соответственно, то для последовательности

коэффициенты ДРФ определяются как

(1.105)

где все последовательности периодичны с периодом N.

2. Сдвиг последовательности. Если периодическая последовательность имеет коэффициенты дискретного ряда Фурье то сдвинутая по­следовательность имеет коэффициенты

Вследствие того, что коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности представляют также периодическую последовательность, то аналогичный результат справедлив и для сдвига коэффициентов Фурье. В этом случае значения периодической последовательности являются коэффициентами ряда Фурье последовательности где l – целое число.

3. Двойственность. Формулы (1.104) свидетельствует о том, что анализ и синтез ДРФ отличаются друг от друга только множителем 1/N и знаком экспоненты W_N. Более того, исходная последовательность и коэффициенты ее ДРФ представляют собой один и тот же тип последовательностей – периодический. В этом случае с учетом множителя 1/N и знаков экспонент в (1.104) можно получить, что

(1.106)

или, меняя местами k и n,

(1.107)

Легко видеть, что равенство (1.107) очень похоже на формулу для Другими словами, – это коэффициенты ДРФ периодической последовательности Другими словами, чтобы найти коэффициенты ДРФ последовательности необходимо обратить порядок исходной последовательности и умножив все ее члены на N.

Более кратко свойства двойственности формулируются следующим образом: если последовательность имеет коэффициенты дискретно­го ряда Фуье то последовательность имеет коэффициенты ДРФ, равные

4. Симметричность. Симметрии ДРФ, как и симметрии преобразования Фурье, часто упрощают решение конкретных задач. Однако преж­де чем обсуждать это важное свойство приведем некоторые определения.

Сопряженно-симметричной последовательностью называется после­довательность, для которой а сопряженно-кососимметри­ческой последовательность, удовлетворяющая условиям где символ * обозначает комплексное сопряжение. Любую последовательность можно представить в виде суммы сопряженно-симметричной и сопряженно-кососимметричной последовательностей:

(1.108)

где

(1.109)

(1.110)

Вещественнозначную сопряженно-симметричную последовательность, для которой называют четной, а вещественнозначную сопряженно-кососимметричную – нечетной.

Таким образом, если у комплексной последовательности коэффи­циенты ДРФ равны , то у последовательности эти коэффи­циенты будут равны , а для последовательности – Следствием этого является то, что коэффициенты ДРФ для Re[x(n)] есть а ДРФ –

Для действительной (вещественной) последовательности свойство симметрии следующие:

(1.111)

Кроме того, для последовательности коэффициенты ДРФ равны а для последовательности –

5. Периодическая свёртка. Пусть и две периодические последовательности периода N с коэффициентами ДРФ и соответственно. Тогда последовательность будет являться коэффициентами ДРФ последовательности , получаемой путём объединения последовательностей и следующим образом:

(1.112)

Видно, что последовательности и объединяются способом, похожим на свёртку. Однако в отличие от свёртки апериодических последовательностей последовательности и входящие в данное выражение, периодичны по m с периодом N и, следовательно, периодичны их произведения. Суммирование производится только по одному периоду. Этот тип свёртки называется периодической свёрткой. Изменяя индекс суммирования, можно получить, что

(1.113)

Пример 1.10. Вычислим периодическую свертку двух последовательностей и с периодом N = 4:

={3,2,1,0}; = {2,2,1,1}.

Рис. 1.18 иллюстрирует процедуру вычисления периодической свертки.

Последовательность которая является «фиксированной» представлена на рис. 1.18а, а сдвигаемая или «скользящая» последовательность – на рис. 1.18

б. Зеркально отображенная последовательность или представлена на рис. 1.18 в, а результат ее последовательного сдвига – на рисунках 1.18 г–ж.

Рис. 1.18. Вычисление периодической свертки

Рассмотрим вычисление свертки на одном периоде: первый отсчет вычисляется как сумма произведений последовательностей и второй отсчет – как сумма произведе­ний последовательностей и и далее, аналогично: – последовательностей и  – и

Следующий отсчет должен вычисляться как произведение после­довательностей и Однако, в силу периодичности последовательности и на интервале [0; N–1]  [0;3] оказываются одинаковыми и поэтому результаты вычислений будут повторяться с периодом N = 4.

При этом типе свертки, как видно из рисунка 1.18, когда один период последовательности выходит из интервала суммирования, следующий период входит в него.

Результаты вычислений свертки для данного примера приведены в таблице 1.5.

Вычисление периодической свертки

Рис. 1.19. Результат вычисления периодической свертки

Если поменять местами время и частоту (теорема двойственности), то можно получить аналогичные результаты и для коэффициентов дискретного ряда Фурье. Это значит, что периодическая последовательность имеет коэффициенты ДРФ, определяемые выражением:

(1.112)

и с точностью до коэффициента равные периодической свёртке последовательностей и