Структурные схемы бих-фильтров (прямая и каноническая, последовательная и параллельная формы реализации).

Простейшую форму реализации можно получить из выражения, определяющего разностное уравнение для рекурсивного фильтра. Соответствующая структурная схема выглядит следующим образом (Рис 2.1):

Рис. 2.1-прямая форма реализации рекурсивных фильтров

Данная схема известна как прямая форма реализации рекурсивных фильтров.

Из приведенной схемы видно, что для синтеза фильтра при M=N требуется 2N ячеек памяти и необходимо выполнить 2N умножений и 2N сложений. Причем, данная схема представлена таким образом, что каждый узел имеет не более двух входов. Несмотря на то, что эта условность приводит к большему числу узлов, чем необходимо, она согласуется с тем фактом, что при построении цифровых фильтров (как программным способом, так и в виде специализированных устройств) операция суммирования нескольких (больше двух) чисел осуществляется на основе формирования сумм отдельных пар чисел. В цифровой аппаратуре в отдельный момент времени, как правило, суммируются только два числа.

Характерными чертами этой структуры является ее простота и непосредственная связь с z-преобразованием. Однако ее недостатком является высокая чувствительность характеристик фильтра к погрешностям коэффициентов передаточной функции. По этой причине в большинстве практических случаев рассмотренную структуру стараются не применять.

Один из подходов к усовершенствованию структур цифровых фильтров состоит в сокращении числа элементов схем. Это приводит к так называемым каноническим формам.

Структуру цифрового фильтра принято называть канонической по отношению:

1. к элементам задержки, если их число равно порядку передаточной функции фильтра;

2. к коэффициентам передаточной функции, если число коэффициентов равно сумме степеней числителя и знаменателя передаточной функции с действительными коэффициентами (масштабирующие множители при этом не учитываются);

3. к умножителям, если их число равно числу коэффициентов передаточной функции и если реализация является канонической по отношению к ее коэффициентам.

Чаще всего канонической называют структуру, удовлетворяющую условию a).

Для получения одной из этих форм воспользуемся тем, что выражение (2.2) для передаточной функции рекурсивного фильтра можно представить в следующем виде:

(2.11)

Как видно, цифровой фильтр, соответствующий (2.11), состоит из двух последовательно соединенных фильтров, первый из которых имеет только полюса, а второй – только нули. Запишем передаточные функции H₁(z) и H₂(z) в виде:

(2.12а)

(2.12б)

Здесь W(z) – z-преобразование выходной последовательности первого фильтра. В этом случае при M=N получим два следующих разностных уравнения:

(2.13)

Структурная схема, реализующая выражение (2.13), представлена на рис. 2.2

Рис. 2.2- каноническая форма реализации рекурсивных фильтров

Как видно, эта схема имеет только элементов задержки, 2N+1 перемножителей и 2N сумматоров, т.е. минимальное число, необходимое для реализации функции вида (2.2).

Однако наиболее распространенной формой реализации цифровых фильтров является каскадная (последовательная) форма. При этом передаточная функция H(z) представляется в виде произведения передаточных функций боле низкого порядка, обычно, первого или второго:

В самом деле, если p_i и z_i есть полюсы и нули функции H(z)? То ее можно представить в виде

(2.14)

и, рассматривая затем пары комплексно-сопряженных нулей и полюсов, можно представить H(z) в виде последовательного соединения звеньев первого и второго порядков:

(2.15)

Данное соотношение предполагает множество структур, образованных каскадным соединением блоков первого и второго порядков. Очевидно, что существует значительная свобода в выборе как формы построения блоков, так и последовательности их расположения. На практике важно выполнить каскадное построение при минимальном объеме памяти, поэтому при аппаратной реализации чаще используются звенья второго порядка. Этот подход в общем случае обычно рассматривается на примере каскадной формы построения цепи, когда передаточная функция имеет вид:

(2.16)

где - наибольшее целое число содержащееся в (считается что M N).

Данная форма записи выражения для H(z) предполагает попарное объединение действительных полюсов и нулей. При этом, если число действительных нулей нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Аналогично, если число действительных полюсов нечетное, то один из коэффициентов равен нулю. Таким образом, можно создать каскадную структуру с минимальной памятью, если каждый блок второго порядка выполнить в канонической форме. При этом отдельные звенья такой структуры часто называют биквадратными блоками звеньями. На рис. 2.3 представлена структурная схема системы шестого порядка на основе биквадратных блоков.

Рис. 2.3- каскадная форма реализации системы шестого порядка на основе биквадратных звеньев

Существует значительная гибкость как при выборе способа попарного объединения полюсов и нулей, так и последовательности, в которой следует располагать сформированные блоки второго порядка. В предположении неограниченной точности представления переменных и коэффициентов порядок расположения блоков и способ группирования нулей с полюсами не имеют значения (цепи будут эквивалентны). Однако на практике для реальных устройств эти вопросы имеют весьма важное значение. Еще одна трудность, связанная с особенностями последовательной формы состоит в необходимости введения масштабирующих множителей между отдельными блоками. Эти множители не должны позволять переменным фильтра принимать слишком большие или слишком малые значения. Все эти вопросы более подробно будут рассмотрены при реализации цифровых фильтров.

Передаточную функцию H(z) можно также представить в виде разложения на простые дроби:

(2.17)

Если коэффициенты a_k и b_k в (2.2) являются действительными, то и величины А_k, B_k, C_{k ,} c_k и d_k – также действительные. В том случае, когда M < N последнее слагаемое в выражении (2.17) отсутствует.

Таким образом, H(z) можно представить в виде суммы передаточных функций звеньев более низкого порядка:

и рассматривать как параллельную комбинацию систем первого и второго порядка. При таком построении действительные полюсы могут быть попарно сгруппированы и выражение для H(z) примет вид:

(2.18)

На рисунке 3.10 показан типовой пример параллельной формы реализации цифровых фильтров.

Очевидно, что каждое звено параллельной формы может быть реализовано в виде биквадратного блока.