Свойства дискретных рядов Фурье. Периодическая свертка двух последовательностей.
Дискретные ряды Фурье, как и ряды Фурье, преобразования Фурье и Лапласа непрерывных сигналов и z-преобразование дискретных апериодических последовательностей, обладают целым рядом важных свойств, которые позволяют успешно применять их при обработке сигналов. Многие из основных свойств ДРФ аналогичны свойствам преобразования Фурье и z-преобразования. Однако ввиду периодичности последовательностей и здесь имеются и свои важные отличия. Более того, между временной частотной областями в ДРФ существует четкая действительность, в то время как ее нет ни в преобразовании Фурье, ни в z-преобразовании последовательностей.
1. Линейность. Если две периодические последовательности и с периодом, равным N, имеют коэффициенты ДРФ и соответственно, то для последовательности
коэффициенты ДРФ определяются как
(1.105)
где все последовательности периодичны с периодом N.
2. Сдвиг последовательности. Если периодическая последовательность имеет коэффициенты дискретного ряда Фурье то сдвинутая последовательность имеет коэффициенты
Вследствие того, что коэффициенты ряда Фурье периодической последовательности представляют также периодическую последовательность, то аналогичный результат справедлив и для сдвига коэффициентов Фурье. В этом случае значения периодической последовательности являются коэффициентами ряда Фурье последовательности где l – целое число.
3. Двойственность. Формулы (1.104) свидетельствует о том, что анализ и синтез ДРФ отличаются друг от друга только множителем 1/N и знаком экспоненты WN. Более того, исходная последовательность и коэффициенты ее ДРФ представляют собой один и тот же тип последовательностей – периодический. В этом случае с учетом множителя 1/N и знаков экспонент в (1.104) можно получить, что
(1.106)
или, меняя местами k и n,
(1.107)
Легко видеть, что равенство (1.107) очень похоже на формулу для Другими словами, – это коэффициенты ДРФ периодической последовательности Другими словами, чтобы найти коэффициенты ДРФ последовательности необходимо обратить порядок исходной последовательности и умножив все ее члены на N.
Более кратко свойства двойственности формулируются следующим образом: если последовательность имеет коэффициенты дискретного ряда Фуье то последовательность имеет коэффициенты ДРФ, равные
4. Симметричность. Симметрии ДРФ, как и симметрии преобразования Фурье, часто упрощают решение конкретных задач. Однако прежде чем обсуждать это важное свойство приведем некоторые определения.
Сопряженно-симметричной последовательностью называется последовательность, для которой а сопряженно-кососимметрической последовательность, удовлетворяющая условиям где символ * обозначает комплексное сопряжение. Любую последовательность можно представить в виде суммы сопряженно-симметричной и сопряженно-кососимметричной последовательностей:
(1.108)
где
(1.109)
(1.110)
Вещественнозначную сопряженно-симметричную последовательность, для которой называют четной, а вещественнозначную сопряженно-кососимметричную – нечетной.
Таким образом, если у комплексной последовательности коэффициенты ДРФ равны , то у последовательности эти коэффициенты будут равны , а для последовательности – Следствием этого является то, что коэффициенты ДРФ для Re[x(n)] есть а ДРФ –
Для действительной (вещественной) последовательности свойство симметрии следующие:
(1.111)
Кроме того, для последовательности коэффициенты ДРФ равны а для последовательности –
5. Периодическая свёртка. Пусть и две периодические последовательности периода N с коэффициентами ДРФ и соответственно. Тогда последовательность будет являться коэффициентами ДРФ последовательности , получаемой путём объединения последовательностей и следующим образом:
(1.112)
Видно, что последовательности и объединяются способом, похожим на свёртку. Однако в отличие от свёртки апериодических последовательностей последовательности и входящие в данное выражение, периодичны по m с периодом N и, следовательно, периодичны их произведения. Суммирование производится только по одному периоду. Этот тип свёртки называется периодической свёрткой. Изменяя индекс суммирования, можно получить, что
(1.113)
Пример 1.10. Вычислим периодическую свертку двух последовательностей и с периодом N = 4:
={3,2,1,0}; = {2,2,1,1}.
Рис. 1.18 иллюстрирует процедуру вычисления периодической свертки.
Последовательность которая является «фиксированной» представлена на рис. 1.18а, а сдвигаемая или «скользящая» последовательность – на рис. 1.18
б. Зеркально отображенная последовательность или представлена на рис. 1.18 в, а результат ее последовательного сдвига – на рисунках 1.18 г–ж.
Рис. 1.18. Вычисление периодической свертки
Рассмотрим вычисление свертки на одном периоде: первый отсчет вычисляется как сумма произведений последовательностей и второй отсчет – как сумма произведений последовательностей и и далее, аналогично: – последовательностей и – и
Следующий отсчет должен вычисляться как произведение последовательностей и Однако, в силу периодичности последовательности и на интервале [0; N–1] [0;3] оказываются одинаковыми и поэтому результаты вычислений будут повторяться с периодом N = 4.
При этом типе свертки, как видно из рисунка 1.18, когда один период последовательности выходит из интервала суммирования, следующий период входит в него.
Результаты вычислений свертки для данного примера приведены в таблице 1.5.
Вычисление периодической свертки
N |
|
|
|
0 | 3 | 2 |
|
1 | 2 | 2 |
|
2 | 1 | 1 |
|
3 | 0 | 1 |
|
Рис. 1.19. Результат вычисления периодической свертки
Если поменять местами время и частоту (теорема двойственности), то можно получить аналогичные результаты и для коэффициентов дискретного ряда Фурье. Это значит, что периодическая последовательность имеет коэффициенты ДРФ, определяемые выражением:
(1.112)
и с точностью до коэффициента равные периодической свёртке последовательностей и
- Общие принципы получения информации в физических исследованиях. Основные цели обработки сигналов. Преимущества цифровых методов обработки сигналов. Примеры практического применения.
- Содержание, этапы, методы и задачи цифровой обработки сигналов. Основные методы и алгоритмы цос.
- Основные направления, задачи и алгоритмы цифровой обработки сигналов
- Дискретные и цифровые сигналы. Основные дискретные последовательности теории цос.
- Линейные дискретные системы с постоянными параметрами. Импульсная характеристика. Физическая реализуемость и устойчивость.
- Линейные разностные уравнения с постоянными параметрами, их практическое значение и решение.
- Соотношение между z-преобразованием и преобразованием Фурье
- Обратное z-преобразование и методы его нахождения: на основе теоремы о вычетах, разложение на простые дроби и в степенной ряд.
- Передаточная функция дискретных систем. Диаграммы нулей и полюсов. Условие устойчивости.
- Частотная характеристика дискретных систем. Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики.
- Фазовая и групповая задержка. Цифровая частота и единицы измерения частоты, которые используются в цифровой обработке сигналов.
- Общая характеристика дискретного преобразования Фурье. Задачи, решаемые с помощью дпф. Дискретный ряд Фурье.
- Дискретный ряд Фурье
- Свойства дискретных рядов Фурье. Периодическая свертка двух последовательностей.
- Дискретное преобразование Фурье. Основные свойства.
- Общая характеристика ряда и интеграла Фурье, дискретного ряда Фурье и дискретного преобразования Фурье. Равенство Парсеваля.
- Прямой метод вычисления дпф. Основные подходы к улучшению эффективности вычисления дпф.
- Алгоритмы бпф с прореживанием по времени. Основные свойства.
- Двоичная инверсия входной последовательности для
- Алгоритмы бпф с прореживанием по частоте. Вычисление обратного дпф.
- Вычисление периодической, круговой и линейной свертки. Алгоритм быстрой свертки. Вычислительная эффективность.
- Вычисление линейной свертки с секционированием.
- Амплитудный спектр, спектр мощности. Определение и алгоритмы получения.
- Оценка спектра мощности на основе периодограммы. Свойства периодограммы. Методы получения состоятельных периодограммных оценок.
- Основные проблемы цифрового спектрального анализа. Взвешивание. Свойства весовых функций. Модифицированные периодограммные оценки спм.
- 1.6.1. Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра
- Взвешивание. Свойства весовых функций
- Паразитная амплитудная модуляция спектра
- Эффекты конечной разрядности чисел в алгоритмах бпф
- Метод модифицированных периодограмм
- Метод Блэкмана и Тьюки получения оценки спектральной плотности мощности. Сравнительная оценка качества методов получения спм.
- Сравнение методов оценки спектральной плотности мощности
- Основные характеристики цифровых фильтров. Рекурсивные и нерекурсивные цифровые фильтры, их преимущества и недостатки.
- Структурные схемы бих-фильтров (прямая и каноническая, последовательная и параллельная формы реализации).
- Структурные схемы ких-фильтров (прямая, каскадная, с частотной выборкой, схемы фильтров с линейной фазой, на основе метода быстрой свертки).
- Проектирование цифровых фильтров. Основные этапы и их краткая характеристика.
- Расчет цифровых бих-фильтров по данным аналоговых фильтров. Этапы и требования к процедурам перехода.
- Общая характеристика аналоговых фильтров-прототипов: Баттерворта, Чебышева I и II типа, Золоторева-Каура (эллиптические). Методика применения билинейного z-преобразования.
- Эффекты конечной разрядности чисел в бих-фильтрах. Ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и округления. Предельные циклы.
- Расчет цифровых ких-фильтров: методы взвешивания и частотной выборки.
- Эффекты конечной разрядности чисел в ких-фильтрах.
- Общая структурная схема системы цос. Дискретизация сигналов. Теорема отсчетов.
- Погрешности дискретизации. Выбор частоты дискретизации в реальных условиях. Эффект наложения спектров
- Дискретизация узкополосных сигналов
- Выбор частоты дискретизации на практике
- Квантование сигналов. Погрешность квантования. Отношение сигнал/шум и динамический диапазон при квантовании сигналов. Равномерное и неравномерное квантование
- Анализ ошибок
- Отношение сигнал/шум и динамический диапазон
- Способы реализации алгоритмов и систем цос. Понятие реального времени обработки.
- Особенности цос, влияющие на элементную базу, ориентированной на реализацию цифровых систем обработки сигналов.
- Общие свойства процессоров цифровой обработки сигналов и особенности их архитектуры.
- Архитектура Фон Неймана и гарвардская архитектура в пцос. Преимущества и недостатки.
- Универсальные процессоры цос. Общая характеристика процессоров с фиксированной и плавающей точкой (запятой).
- Основные различия между микроконтроллерами, микропроцессорами и сигнальными процессорами.