Проектирование цифровых фильтров. Основные этапы и их краткая характеристика.

Проектирование цифровых фильтров сводиться к задаче определения передаточной функции, которая представляет собой рациональную функцию от z^-1 случае рекурсивных или полином от z^-1 в случае нерекурсивных систем. Передаточная функция соответствующего фильтра должна удовлетворять предъявляемым техническим требованиям. На практике характеристики цифровых фильтров, как правило, задаются в частотной области, так как такие системы используются в большинстве случаев для выполнения операции фильтрации цифровых сигналов, полученных из аналоговых путем дискретизации и квантования. На рис.3.16 приведены амплитудно-частотные характеристики идеальных частотно-избирательных фильтров нижних и верхних частот, полосовых и режекторных (заграждающих), которые наиболее широко применяются при обработке сигналов. Однако на практике частотные характеристики идеальных фильтров невозможно реализовать абсолютно точно по двум причинам. Первая состоит в том, что получить идеальную форму амплитудно-частотной характеристики фильтра можно только в пределе при стремящемся к бесконечности числу членов передаточной функции. Поэтому фактически используется лишь аппроксимация характеристик идеальных фильтров. Вторая состоит в том, что из-за ограниченного числа данных истинная передаточная функция есть в действительности свертка теоретической передаточной функции с функцией

вида (sin x)/x. Однако, несмотря на это реализованные на практике цифровые фильтры столь же хороши для решения многих задач науки и техники, как и идеальные фильтры.

В общем случае порядок расчета цифровых фильтров, реализуемых программным способом на ЭВМ или аппаратным способом в виде специализированных устройств, сводится к следующим этапам:

1. Определение требуемых свойств фильтра.

2. Вычисление коэффициентов передаточной функции фильтра, при которых фильтр удовлетворяет заданным требованиям.

3. Выбор подходящей структуры фильтра.

4. Анализ влияния конечной разрядности на параметры фильтра.

|Н(e^jθ)|

0 θ_c θ

а)

|Н(e^jθ)|

0 θ_c θ

б)

|Н(e^jθ)|

0 θ₁ θ₀ θ₂ θ

в)

|Н(e^jθ)|

0 θ₁ θ₀ θ₂ θ

Рисунок 3.16. Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров. А – нижних частот, б – верхних частот, в – полосовых, г – режекторных. Штриховкой указаны частоты, которые пропускаются фильтром.

5. Рализация фильтра на програмном и (или) аппаратном уровне.

Указанные этапы не всегда независимы и часто они не располагаются в данном порядке. Чтобы получить эффективный фильтр, инога приходится данный процесс проводить в несколько итераций, особенно если требования не являются совершенно поределенными ( как обычно и бывает), или же разработчик намерен исследовать альтернативные структуры.

Тербования к разрабатываемым фильтрам

Основные требования следующие:

1. Характеристика сигналов (тип источника сигналов и их потребителя, интерфейс ввода-вывода, скорость передачи данных и ширина полосы, наивысшая частота, представляющая интерес).

2. Характеристика самого фильтра (желаемая амплитудно-частотная и/или фазово-частотная характеристики, быстродействие и режимы фильтрации: реальное или модельное время).

3. Принцип реализации (например, или как компьютерная программа на языке высокого уровня или как устройство или система ЦОС на базе процессора, здесь же осуществляется выбор процессора ЦОС).

4. Другие требования (например, стоимость фильтра).

Реально разработчик может и не иметь достаточно информации, чтобы полностью определить фильтр на начальных этапах проектирования, но для упрощения процесса разработки необходимо сформировать максимальное число требований.

Помимо указанных этапов могут решаться и другие задачи, например, оптимизация параметров фильтра в соответствии с тем или иным критерием и проверка моделированием соответствия полученного фильтра заданным требованиям.

Рассмотрим более подробно требования к амплитудно-частотным характеристикам фильтров. Для частотно-избирательных фильтров, таких как фильтры нижних (верхних) частот и полосовые фильтры, требования чаще задаются в виде допусков. На рис. 3.17 представлена схема допусков для фильтра нижних частот. Заштрихованные горизонтальные линии обозначают пределы допустимых отклонений.

|H(ℓ^jθ)| п ереходная полоса переходная

полоса

1-δ

Полоса непро-

пускания

Полоса про- Полоса непро-

пускания пускания

δ

0 θ₁₁ θ₁ θ₀ θ₂ θ₂₂ θ

Рис.17. График допусков АЧХ полосового фильтра.

В полосе пропускания частотная характеристика должна аппроксимироваться величиной, равной 1 c максимальной погрешностью ±δ , а в полосе подавления (непропускания)--с максимальным отклонением δ .

Переходная полоса ( ) определяет, насколько резкой (крутой) является характеристика фильтра. В этой области АЧХ фильтра плавно спадает от значения в полосе пропускания до значения в полосе подавления.

Для ФНЧ наибольший интерес представляют параметры δ, δ , -- граничная частота полосы пропускания (чатсота среза) и -- граничная частота полосы подавления.

Граничные частоты часто представляются в нормированном виде, т.е. как для частоты дискретизации ( ), но более содержательными являются требования, в которых используются стандартные единицы частот (герцы или килогерцы). Отклонения в полосе пропускания и полосе подавления могут выражаться в виде обычных чисел или в децибелах, когда они выражают неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления соответственно. Следовательно, минимальное затухание в полосе подавления A и максимальная неравномерность в полосе пропускания A в децибелах записываются следующим образом ( для КИХ-фильтров):

A = -20 lg δ

A = 20 lg (1+ δ )

Определяя требования к фазовой характеристике цифровых фильтров во многих случаях достаточно указать, что фазовое искажение существенно или что желательна линейная характеристика. В то же время, в некоторых приложениях, где фильтры используются для выравнивания или компенсации фазовой характеристики системы или как фазовращатели, фазовую характеристику задавать необходимо.

Требования, задаваемые к АЧХ полосовых фильтров, рассмотрим на следующем примере:

Требуется спроектировать полосовой КИХ-фильтр, соответствующий следующим требованиям к АЧХ:

полоса пропускания – 0.18 – 0.33 (нормированная);

ширина переходной полосы – 0.04 (нормированная);

отклонение в полосе затухания – 0.001;

отклонение в полосе пропускания – 0.05;

Необходимо:

1. Сформировать схему допусков для данного фильтра.

2. Выразить граничные частоты полосы пропускания в стандартных единицах (кГц), в предположении, что частота дискретизации равна 10 кГц, а отклонение в полосе затухания и полосе пропускания выражены в децибелах.

Решение:

1. Схема допусков фильтра представлена на рис. 3.18;

2. Граничные частоты:

полосы пропускания – 1.8 – 3.3 кГц;

полосы подавления – 0 – 1.4 кГц и 3.7 – 5 кГц;

затухание в полосе подавления – -20 lg(0.001)=60 дБ;

неравномерность в полосе пропускания – -20lg(1+0.5)=0.42 дБ;

Следует отдельно отметить, что все граничные частоты рассматриваются только в основной полосе частот ( до частоты Найквиста).

Расчет коэффициентов

На этом этапе выбирается один из методов и вычисляются коэффициенты h(k) для КИХ-фильтров или и для БИХ-фильтров, при которых удовлетворяются условия, принципы определения которых были рассмотрены в предыдущем пункте.

Методы вычисления коэффициентов фильтра зависят от того к какому классу относится фильтр – КИХ или БИХ-фильтрам.

Вычисление коэффициентов БИХ-фильтров основывается на преобразовании характеристик известных аналоговых фильтров в характеристики эквивалентных цифровых. При этом используются два основных метода: метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и метод билинейного преобразования, которые будут подробно рассмотрены ниже.

Коэффициенты КИХ-фильтров также можно вычислить несколькими различными способами. В дальнейшем будут рассмотрены три метода: взвешивания, частотной выборки и оптимальный (алгоритм Паркли-Мак-Клиллана).

Выбор формы реализации передаточной функции

При разработке БИХ-фильтров наиболее широко используются каскадная (последовательная) и параллельная структуры, поскольку как отмечалось выше, они предоставляют более простые алгоритмы фильтрации мене чувствительны к эффектам реализации с использованием конечного числа битов (двоичных разрядов), чем фильтры с прямой структурой.

Для КИХ-фильтров, наоборот, наиболее используемой является прямая структура, поскольку её проще всего реализовать. Кроме того, еще используются две других структуры: с частотной выборкой и быстрой свёрткой. По сравнению с трансверсальной структурой, реализация по схеме частотной выборки может быть вычислительно более эффективной, поскольку она требует расчёта меньшего числа коэффициентов. Однако, её бывает не так просто реализовать, и она может требовать большего объёма памяти. При быстрой свёртке используются вычислительные преимущества алгоритмов БПФ, и она обычно привлекательна в тех случаях, когда дополнительно требуется вычислять спектр сигнала.

Выбор между структурами фильтров зависит от следующих факторов: 1) какая требуется характеристика (конечная или бесконечная); 2) простота реализации; 3) насколько структура чувствительна к эффектам конечной разрядности.

Анализ влияния конечной разрядности

Решение задачи аппроксимации и реализации фильтров предполагает что входные и выходные данные представлены если не с бесконечной, то очень высокой точностью. В то же время реально, например, коэффициенты фильтра представляются конечным числом бит (обычно от 8 до 16) и, кроме того, арифметические операции, указанные в разностных уравнениях, выполняются с использованием арифметики конечной точности.

Влияние конечного числа разрядов проявляются в ухудшении свойств разработанного фильтра, а в некоторых случаях фильтр может стать неустойчивым. При разработке фильтров необходимо проанализировать данные эффекты и выбрать подходящую длину слова (число разрядов) для представления коэффициентов…