Дискретный ряд Фурье

Рассмотрим периодическую последовательность с периодом N, т. е. такую, что

(1.94)

где r – любое целое число.

Как и непрерывные периодические сигналы, такие последовательности можно представить рядом Фурье, состоящим из сумм комплексных экспотенциальных последовательностей, т. е. экспонент, частоты которых кратны основной частоте (2/N):

(1.95)

где k – целое число.

При этом выражение

(1.96)

называют дискретным рядом Фурье (ДРФ).

Как видно, в отличие от непрерывных периодических сигналов, для представления которых в виде ряда Фурье требуется бесконечно много комплексных экспонент, в ряде Фурье для N-периодического дискретного сигнала участвует только N таких последовательностей. Это является следствием того, что комплексные экспоненты из равенства (1.95) удовлетворяют тождествам: и т. д., поскольку для любых целых чисел k и n имеют место равенства:

(1.97)

Множитель 1/N введен для удобства и не влияет на характер представления.

Чтобы найти коэффициенты ряда Фурье последовательности воспользуемся попарной ортогональностью комплексных экспонент. Для этого умножим обе части равенства (1.96) на и просуммируем результат по n от 0 до N – 1. Получим

(1.98)

Учитывая далее ортогональность комплексных экспонент, которая означает, что

(1.99)

Выражение (1.98) можно представить в виде:

(1.100)

Отсюда следует, что коэффициент ряда (1.96) получаются из последовательности по следующей формуле

(1.101)

Следует отметить, что последовательность также периодической с периодом N, так как для любого целого k имеет место следующее:

(1.102)

Коэффициенты удобнее рассматривать как бесконечную периодическую последовательность, отсчеты которой определяются формулой (1.101), так как в этом случае сохраняется дуальность между временным и частотным представлением периодических последовательностей рядом Фурье формулы (1.96) и (1.010) составляют пару анализа-синтеза и называются представлением периодической последовательности в виде ДРФ.

Для удобства введем обозначение

(1.103)

Тогда пара выражений, определяющая ДРФ, принимает следующий вид:

(1.104)