1.6.1. Просачивание спектральных составляющих и размывание спектра

Одна из важных проблем, которая является общей для всех классических методов спектрального анализа, связана с применением функций окна. Обработка с помощью окон (взвешивание) используется для управ­ления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках.

Боковые лепестки в спектре появляются вследствие конечной (усеченной) выборки входных данных. Усечение данных можно рассматривать как умножение исходной последовательности (бесконечной) на прямоугольную последовательность (окно)

(2.221)

Например, последовательность обрабатываемых данных из N отсчетов можно записать как произведение бесконечной последовательности и функции

(2.222)

Дискретное преобразование Фурье последовательности как известно, будет равно свертке ДПФ исходной последовательности и ДПФ последовательности

(2.223)

где функция

(2.224)

часто называется ядром Дирихле или дискретной функцией sinc.

ДПФ обрабатываемой конечной последовательности является искаженным преобразованием бесконечной последовательности. Рассмотрим влияние прямоугольного окна на дискретизированную синусоиду с частотой f₀ в следующих двух ситуациях. В первом случае соотношение между частотой дискретизации и частотой входного синусоидального сигнала таково, что в выборке содержится в точности целое число периодов синусоидального сигнала. ДПФ предполагает, что выборка повторяется бесконечное число раз до и после исследуемого фрагмента сигнала, формируя таким образом бесконечный непрерывный периодический сигнал, как показано на рис. 1.40. При таких условиях входной сигнал представляет собой непрерывную синусоидальную функцию, и на выходе ДПФ будет один ненулевой частотный отсчет, соответствующий частоте входного сигнала.

Рис. 1.40 ДПФ синусоидального сигнала с целым числом периодов в выборке

Рис. 1.41. ДПФ синусоидального сигнала с нецелым числом периодов в выборке

Во втором случае (рис. 1.41), когда в выборке нет целого числа периодов синусоидального сигнала, острые пики бесконечной синусоидальной последовательности расширились за счет воздействия преобразования Фурье прямоугольного окна, имеющего вид функции которая уже не локализирована на частной оси и имеет множество дополнительных боковых лепестков. Из представленного рисунка также видно, что первый боковой лепесток только на 12 дБ ниже основного, и что боковые лепестки имеют спад только 6дБ/октаву.

Боковые лепестки преобразования, часто называемые просачиванием спектральных составляющих, изменяют амплитуду соседних спектральных составляющих. Такой эффект будет иметь место для каждой частотной компоненты, так что амплитудный спектр сложного сигнала будет искажен из-за перекрестного сложения и вычитания большого числа боковых и главных лепестков частотного спектра прямоугольной функции.

Просачивание приводит не только к появлению амплитудных погрешностей в спектре дискретных сигналов, но может также маскировать (скрывать) присутствие слабых сигналов и, следовательно, препятствовать их обнаружению.

Кроме того, поскольку ДПФ – периодическая функция, то наложение боковых лепестков от соседних спектральных периодов может привести к дополнительному смещению. Увеличение частоты дискретизации позволяет ослабить эффект наложения боковых лепестков. Аналогичные искажения будут наблюдаться и в случае несинусоидальных сигналов.

Из приведенного рисунка также видно, что минимальная ширина спектральных пиков взвешенной окном последовательности ограничена шириной, определяемой главным лепестком преобразования данного окна, и не зависит от исходных данных. Другими словами, конечная длительность обрабатываемой последовательности существенным образом влияет на разрешающую способность спектрального анализа.

Для уменьшения боковых лепестков используются оконные функции с более сложной формой, чем прямоугольная. Отсчеты входной последовательности умножаются на соответствующую функцию окна, что влечет за собой обнуление значений сигнала на краях выборки, как показано на рис. 1.42. Можно считать, что воздействие окна на массив входных данных состоит в уменьшении порядка разрыва на границе периодического продолжения. В этом легко убедиться, рассмотрев рис. 1.42.

Уменьшения порядка разрыва на границе добиваются, согласуя на границе периодического продолжения возможно большее число производных взвешенных данных. Проще всего обеспечить такое согласование, сделав эти производные равными нулю или, по крайней мере, близкими нулю. Из рис. 1.43 видно, что вблизи границ интервала взвешивания периодическое продолжение исходного сигнала оказывается непрерывным вплоть до производных высших порядков.

Рис. 1.42. Взвешивание с использованием функции окна, отличной от прямоугольного

x(t)

t

периодическое продолжение

исследуемого сигнала

Рис. 1.43. Взвешивание с помощью окна

Чтобы минимизировать просачивание спектральных составляющих, весовая функция выбирается с минимальным уровнем боковых лепестков. К сожалению, это приводит к увеличению ширины главного лепестка, так что он расширяется на соседние боковые лепестки (происходит наложение). Данный эффект имеет место для всех гармоник и общий результат – наложение спектра сигнала или его размывание. Таким образом, весовые функции и их параметры следует тщательно выбирать с тем, чтобы добиться оптимального соотношения между разрешением по частоте (из-за расширения главного лепестка оконной функции) и статистической точностью оценки.