Эффекты конечной разрядности чисел в бих-фильтрах. Ошибки квантования коэффициентов, ошибки переполнения и округления. Предельные циклы.

Влияние конечной разрядности в БИХ - фильтрах. Получаемые при расчете коэффициенты сек и вк имеют бесконечную или очень высокую точность, обычно 6-7 десятичных разрядов. Если же цифровой фильтр реализуется, например, 8-битовым микрокомпьютером, то при представлении коэффициентов и выполнении арифметических операций, указанных в разностном уравнении появляются ошибки. Эти ошибки отрицательно сказываются на быстродействии фильтра и даже могут привести к его неустойчивости.

Основными искажающими факторами цифровых БИХ – фильтров являются:

• Шумы квантования АЦП

• Ошибки (погрешности) квантования коэффициентов, вызванные представлением коэффициентов БИХ – фильтров конечным числом битов (разрядов).

• Ошибки переполнения, которые возникают при сложении или промежуточном суммировании частичных результатов в регистрах ограниченной длины.

• Ошибки округления результатов, когда выходная последовательность y(n) и результаты внутренних арифметических операций округляется (или усекаются) до разрешенной длины слов.

Степень ухудшения характеристик фильтров зависит, во-первых, от длины слова и типа арифметики, используемой для выполнения операции фильтрации, во-вторых, метода, используемого для квантования коэффициентов и переменных фильтра, и, в-третьих, структуры фильтра. В зависимости от реализации фильтра, некоторые эффекты могут быть незначительными. Например, если фильтр реализуется как программа на языке высокого уровня (например, на больших компьютерах), то ошибки квантования коэффициентов и округления будут несущественными. При обработке в реальном времени входные и выходные сигналы, коэффициенты фильтра и результаты арифметических операций представляются с использованием слов конечной длины (обычно 8, 12 и 16 бит). В таких случаях практически всегда необходимо проанализировать влияние квантования на быстродействие фильтра.

Влияние конечной разрядности более сложно проанализировать для БИХ чем для КИХ – фильтров из-за наличия обратной связи.

Ошибки квантования коэффициентов. Как известно, передаточная функция БИХ – фильтров характеризуется следующим выражением:

Если коэффициенты квантуются до конечного числа битов, например, 8 или 16, квантованную передаточную функцию можно записать следующим образом: где , ;

и - погрешности представления коэффициентов a_k и b_k.

q- «квантованный коэффициент».

Основное влияние квантования коэффициента фильтра с использование конечного числа битов проявляется в изменении полюсов и нулей передаточной функции на комплексной плоскости, что может привести к следующим последствиям:

• неустойчивость или потенциальная неустойчивость фильтров высокого порядка с узкой переходной полосой и полюсами, близкими к единичной окружности;

• изменение желаемой частотной характеристики.

33. КИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой и их свойства.

Существует четыре типа КИХ-фильтров с линейной фазовой характеристикой, отличающихся четностью N и типом симметрии h(n) (положительная или отрицательная).

Импульсные характеристики фильтров с линейной фазовой характеристикой.

Частотная характеристика фильтра типа 2 всегда равно нулю при f = 0,5 (половина частоты дискретизации, поскольку все частоты нормированы на частоту дискретизации). По этой причине фильтры данного типа не используются в качестве фильтров верхних частот. Фильтры тип 3 и 4 (отрицательно-симметричная импульсная характеристика) вносят сдвиг фазы на /2, а их частотная характеристика всегда равна нулю при f = 0, так что такие фильтры нельзя использовать как фильтры низких частот. Кроме того, характеристика фильтров третьего типа всегда равна нулю при f = 0,5, так что их также не стоит применять как фильтр верхних частот. Фильтры первого типа наиболее универсальны. Фильтры третьего и четвертого типа часто используются при разработке дифференциаторов и фильтров, реализующих преобразование Гильберта, поскольку такие фильтры могут давать сдвиг фазы на 90.

Следует отметить, что фазовую задержку (фильтры типа 1 и 2) или групповую задержку (фильтры всех четырех типов) можно выразить через число коэффициентов импульсной характеристики, которые можно подобрать так, чтобы фильтр давал нулевую фазовую или групповую задержку. Например, для фильтров типа 1 и 2 фазовая задержка записывается таким образом

(2.101)

а групповая задержка для фильтров типа 3 и 4 равна

(2.102)

где T – интервал дискретизации.

Разработка КИХ-фильтров также включает пять этапов, содержание которых было рассмотрено при изучении БИХ-фильтров. Здесь рассмотрим некоторые особенности требований, предъявляемых к КИХ-фильтрам.

При рассмотрении фазовой характеристики достаточно указать, какая нужна симметрия – четная или нечетная (предполагается, что фазовая характеристика линейная). Амплитудно-частотная характеристика, как правило, также задается в виде допусков: неравномерность в полосе пропускания, ослабление в полосе затухания, граничные частоты полосы пропускания и полосы затухания, частота дискретизации.

Другой важный параметр – это длина импульсной характеристики N, которая определяет число коэффициентов фильтра (иногда на величину N вводится ограничение, например, в случае, если возможная скорость обработки фиксирована).