Паразитная амплитудная модуляция спектра

Дискретное преобразование Фурье можно рассматривать как обработку сигналов набором полосовых фильтров, центральные частоты которых соответствуют дискретным отсчетам X(k), где k – целое число из интервала [0; N –1] (рис. 1.46).

Рис. 1.46. Амплитудно-частотная характеристика ДПФ: (а) отдельные кривые вида sin(x)/x для каждого коэффициента ДПФ; (б) общая амплитудно-частотная характеристика

В идеальном случае каждому коэффициенту ДПФ соответствует фильтр с прямоугольной частотной характеристикой, однако, вследствие умножения входной последовательности на взвешивающую (оконную) функцию, фактическая частотная характеристика имеет вид функции sinc(x), имеющей основной и боковые лепестки. На рис. 1.46 показаны главные лепестки частотных характеристик соответствующего набора фильтров, а боковые лепестки не показаны. Ширина каждого главного лепестка обратно пропорциональна длине массива исходных данных

Главные лепестки представляют собой N независимых фильтров. Это означает, что входной сигнал e^jt с частотой кратной 1/T, будет проходить через фильтр, настроенный соответственно на частоту сигнала, без изменений и будет полностью подавлен остальными фильтрами.

Эффект паразитной модуляции спектра проявляется, когда частота анализируемого сигнала не совпадает ни с одной из этих дискретных ортогональных частот. Например, сигнал с частотой между третьей и четвертой гармониками проходит как через третий, так и через четвертый фильтр, причем его уровень на выходе обоих фильтров будет меньше единицы. В наихудшем случае, когда частота сигнала попадает точно в середину между рассчитываемыми гармониками, амплитуда сигнала падает до уровня 0,637. При возведении этого значения в квадрат «наблюдаемая» мощность сигнала уменьшается до уровня 0,406. Энергетический спектр, оцениваемый по выходным сигналам фильтров, приобретает таким образом паразитную модуляцию, изменяющую истинные значения до 2,5 раз. Это явление напоминает рассматривание истинного спектра через частокол (отсюда и часто применяемый термин – «эффект частокола» или «гребешковое искажение»). Влияние гребешкового искажения можно оценить следующим выражением

(1.230)

где W – ДПФ весовой функции, – круговая частота дискретизации, N – число элементов выборки n – номер элемента выборки,  – весовая функция, дискретизированная во временной области.

Уменьшить гребешковое искажение можно при помощи комплексной интерполяции коэффициентов ДПФ или путем введения в реальные данные дополнительных нулей.

Если дополнить исходную выборку нулями, то в результате получается избыточный алгоритм ДПФ, который даст дополнительные отстчеты спектра на частотах, лежащих между частотами первоначальных гармоник. При этом частотные характеристики фильтров, ассоциируемых с новым набором коэффициентов ДПФ, перекрывают друг друга в большей степени. Если отсчеты ДПФ исходной последовательности есть X(k), где k = 0, 1, …, N – 1, то для расширенной последовательности коэффициенты ДПФ X(k) будут определяться таким образом:

(1.231)

Дополнительные коэффициенты ДПФ, возникающие в результате такого расширения, размещаются в промежутках первоначального набора коэффициентов Фурье. При этом паразитная амплитудная модуляция спектра уменьшается с 60 % до 20 %. Она может быть больше или меньше 20 % в зависимости от того, большее или меньшее число дополнительных отсчетов используется при расчете ДПФ.

Следует отметить, что на практике гребешковое искажение не столь существенно, так как во многих случаях обрабатываемый сигнал не является чисто гармоническим или полигармоническим, а достаточно широкополосен для заполнения нескольких фильтров. Кроме того, использование весовых функций, отличающихся от прямоугольной, обычно способствует уменьшению влияния этого эффекта за счет расширения главного лепестка частотной характеристики каждого фильтра.

Как уже отмечалось, конечная длина данных ограничивает возможное разрешение по частоте до (Гц). В результате получается достаточно грубый спектр, который можно сгладить и сделать непрерывным, используя дополнительные нули. Данный процесс является ни чем иным, как просто интерполяцией спектральной кривой между соседними гармониками. Действительного улучшения разрешения можно добиться только за счет более длительной реализации обрабатываемого сигнала. После дополнения нулями частотный интервал между линиями спектра становится равным (Гц).