Оценка спектра мощности на основе периодограммы. Свойства периодограммы. Методы получения состоятельных периодограммных оценок.

В последнее время наиболее часто используется определение спектральной плотности мощности, основанное на непосредственном преобразовании Фурье исследуемой реализации:

(1.205)

где

М – оператор статистического усреднения.

Из данного определения оценка спектральной плотности мощности может быть получена в следующем виде

(1.206)

где

Здесь – это односторонняя спектральная плотность, поэтому в приведенном выражении стоит цифра 2.

Основные свойства этой оценки:

(1.207)

т. е. данная оценка является асимптотически несмещенной.

Дисперсия данной величины

(1.208)

Это значит, что асимптотически несмещенная оценка не является состоятельной. Другими словами, средняя квадратическая погрешность данной оценки равна 1 или 100 %.

Для получения эффективных оценок применяются методы сглаживания. В этом случае для получения правильных результатов при измерении необходимо перейти от вычисления точечной оценки к усреднению по множеству таких оценок. На практике в связи с этим возникают существенные трудности, обусловленные тем, что усреднять по множеству можно далеко не всегда. Как правило, экспериментатор располагает всего лишь одной или, в лучшем случае, двумя-тремя реализациями исследуемого процесса. Преодолеть возникшие трудности можно воспользовавшись некоторыми свойствами самой функции часто называемой периодограммой. Во-первых, она является случайной функцией частоты. При этом интервал корреляции по частоте составляет величину, примерно равную При случайные величины и с увеличением интервала Т становятся все менее коррелированными, т. е.

(1.209)

Это обстоятельство и лежит в основе получения состоятельных оценок спектральной плотности мощности, т. е. путем сглаживания (усреднения) оценки по сравнительно небольшому интервалу частот может быть получена оценка с убывающей дисперсией, хотя и с некоторым смещением (рис. 1.36).

(1.210)

0 M f _i M f

Рис. 1.36. Иллюстрация сглаживания по частоте

Для этой же цели, кроме того, применяется и усреднение по коротким периодограммам. В этом случае исходная реализация исследуемого сигнала x(t) длительностью T делится на более короткие реализации x_i(t) длительностью По каждой реализации x_i(t) находится оценка спектральной плотности, а затем вычисляется их среднее арифметическое, что позволяет уменьшить дисперсию результирующей оценки в М раз (рис. 1.37).

Рис. 1.37. Иллюстрация сглаживания по коротким реализациям

(1.211)

Измерение (оценка) спектра мощности (часто называемого энергетическим спектром) дает возможность, например, получать информацию о динамических характеристиках линейных физических систем с постоянными параметрами, позволяет исследовать соотношения между процессами на входе и выходе таких систем, обнаруживать скрытые периодичности и т. д.

В теоретических исследованиях принято чаще всего говорить об оценке спектра или спектральном оценивании.

в настоящее время в спектральном анализе используются оценки спектральной плотности мощности, основанные на прямом преобразовании исходных данных и последующем их усреднении. Этот метод, как уже отмечалось, чаще называют методом периодограммной оценки спектра мощности.

Для того, чтобы по отсчетам обрабатываемого сигнала можно было бы получить спектральные оценки в соответствующих единицах энергии или мощности, необходимо выражение для прямого ДПФ умножить, а для обратного ДПФ разделить на интервал дискретизации t:

(1.212)

(1.213)

где – интервал наблюдения (длительность обрабатываемой реализации).

В этом случае оценка спектральной плотности мощности будет определяться следующим образом:

(1.214)

где

Эта оценка называется выборочным спектром, периодограммой Шустера или просто периодограммой.

Данная оценка также не является состоятельной оценкой истинной спектральной плотности мощности (СПМ), так как дисперсия этой величины не стремится к нулю ни при каком сколь угодно большом значении N. Вследствие этого для получения состоятельных оценок требуется выполнение операции статистического усреднения. В этом случае будем иметь

(1.215)

Для расчетов используется выражение

(1.216)

которое называют исходной немодифицированной формой периодограммной оценки СПМ.

Для сглаживания периодограммной оценки используются три основных метода: метод Даньелла (Даниелла), Бартлетта и Уэлча. В методе Даньелла осуществляется усреднение оценок, полученных по соседним частотам (усреднение по смежным частотам), Бартлетта – по ансамблю (по коротким временным последовательностям), а в методе Уэлча подход Бартлетта применяется к перекрывающимся реализациям для уменьшения смещения оценок из-за эффекта просачивания.

Практическое использование этих трех процедур подтверждает их статистическую устойчивость для многих классов сигналов.

Периодограмма Даньелла. Для сглаживания быстрых флуктуаций выборочного спектра в этом случае используется усреднение по соседним спектральным частотам. Если для вычисления выборочного спектра на сетке частот используется алгоритм БПФ, то сглаженная оценка периодограммы на частоте может быть получена посредством усреднения М значений с каждой стороны этой частоты:

(1.217)

Вычисление оценки по Даньеллу рекомендуется для случаев, когда анализируемое множество данных состоит из малого (100–500) или среднего (500–4000) числа выборок.

Периодограмма Бартлетта. При этом подходе последовательность входных данных х(п) из N отсчетов делится на K неперекрывающихся сегментов по М отсчетов в каждом, так что (рис. 1.38).

Тогда i-ый сегмент будет определяться таким образом:

(2.218)

Затем на каждом из этих сегментов независимо вычисляется выборочный спектр:

(2.219)

Далее на каждой частоте, представляющей интерес, K отдельных немодифицированных периодограмм усредняются с тем, чтобы получить усредненную периодограмму Бартлетта.

(2.220)

x(n)

... ...

Рис. 1.38. К иллюстрации периодограммы Бартлетта

Дисперсия рассмотренной оценки уменьшается с увеличением числа K, а величина смещения – увеличивается, так как при фиксированной выборке N с увеличением числа сегментов число выборок М в каждом из них уменьшается. Это приводит к ухудшению разрешающей способности спектрального анализа, так что приходиться находить компромиссное решение между значениями N и М.

Данная оценка применяется при N > 2000.

Периодограмма Уэлча. Уэлч модифицировал основную схему Бартлетта за счет использования перекрывающихся сегментов (рис. 1.39). Цель перекрытия– увеличить число усредняемых оценок спектральной плотности мощности при заданной длительности исходной реализации и тем самым уменьшить дисперсию результирующей оценки.

На основе БПФ Уэлч разработал также эффективную вычислительную процедуру для реализации данного метода, что и сделало метод Уэлча самым популярным периодограммным методом спектрального оценивания.

Если выборка из N отсчетов разбита на К сегментов по М отсчетов в каждом со сдвигом S отсчетов между соседними сегментами то максимальное число сегментов К будет определяться целой частью числа (N – M)/(S + 1).

Например, 50 %-е перекрытие сегментов во многих случаях обеспечивает весьма эффективную реализацию данного метода на основе алгоритмов БПФ. Кроме того, в этом случае все данные используются дважды, за исключением М/2 отсчетов на каждом конце исходной N-точечной последовательности данных. Следует отметить, что на практике часто используется перекрытие до 70 %.

Рис. 1.39. Формирование периодограммы Уэлча

Также как и дисперсия периодограммы Бартлетта, дисперсия периодограммы Уэлча примерно обратно пропорциональна числу сегментов в предположении независимости сегментов (хотя перекрытие сегментов приводит к некоторой их взаимозависимости). Благодаря перекрытию по заданной выборке исходных данных можно сформировать большее число сегментов, чем в методе Бартлетта, что уменьшает величину дисперсии периодограммы Уэлча по сравнению с дисперсией периодограммы Бартлетта.