20. Обобщенная математическая модель ад в физических переменных

Конструктивными электрическими компонентами АД являются три обмотки статора и обмотки ротора, которые для АД с фазным ротором содержат также три обмотки, а для АД с короткозамкнутым ротором количество обмоток может составлять несколько десятков.

В уравнения электрического состояния обмоток АД, как электрической машины переменного тока, входят токи, напряжения и потокосцепления обмоток, значения которых являются функциями от частот их изменения ω_ЭЛ и мгновенных электрических фаз φ_ЭЛ. В свою очередь, как в электрической машине с взаимно вращающимися обмотками, значения указанных фаз и частот зависят как от частоты и фазы сетевого напряжения, так и от механической частоты вращения ротора ω_МЕХ и его положения в пространстве φ_МЕХ. Несмотря на то, что между электрическими и механическими частотами и фазами существует несложные связи вида ω_ЭЛ=р_Пω_МЕХ и φ_ЭЛ=р_Пφ_МЕХ, где р_П – число пар полюсов обмоток статора, целесообразно при составлении уравнений электрического состояния обмоток АД принять р_П=1_. В этом случае электрические и механические частоты и фазы будут совпадать ω_ЭЛ=ω_МЕХ и φ_ЭЛ=φ_МЕХ, и это позволит при составлении указанных уравнений избежать громоздких фраз типа: "в то время как ротор повернулся на угол φ_МЕХ, электрическая фаза φ_ЭЛ изменилась на угол р_Пφ_МЕХ" и т.п. Таким образом, далее будем считать, что механические параметры ω_МЕХ и φ_МЕХ вращения ротора будут совпадать с "электрическими параметрами ω_ЭЛ и φ_ЭЛ вращения ротора". Последние просто вычисляются через электрические параметры статора ω₁, φ₁ и ω₂, φ₂ ротора по формулам ω_ЭЛ=ω₁-ω₂ и φ_ЭЛ=φ₁-φ₂. И только при расчетах вращающих моментов будем учитывать истинное значение р_П.

Составим уравнения электрического состояния обмоток АД с фазным ротором. Описание короткозамкнутого многообмоточного ротора нет смысла рассматривать, так как в математической модели АД и ротор, и статор удобно представлять в виде двух обмоток (см. тему 21).

Оси обмоток статора и ротора вращаются друг относительно друга с частотой ω_ЭЛ, а между осями одноименных обмоток статора и ротора существует геометрический угол, который в силу принятого р_П=1 равен электрической фазе φ_ЭЛ= ω_ЭЛt+φ_ЭЛ0 .

Катушечная модель АД приведена на рис.20.1. Обмотки статора имеют индекс 1, ротора – 2. Потокосцепление каждой из шести обмоток имеет шесть составляющих. Рис.20.1 иллюстрирует способ формирования потокосцепления Ψ_1А фазы А статора. Потокосцепление Ψ_1А определяется суммой

(20.1)

где Ψ_1А1А – составляющая потокосцепления Ψ_1А, созданная током i_1А фазы 1А;

Ψ_1А1В – составляющая потокосцепления Ψ_1А, созданная током i_1В фазы 1В;

и т.д.

Вычисляем составляющие потокосцепления Ψ_1А через токи катушек

(20.2)

где L₁ – собственная индуктивность катушки фазы статора;

L₁₁ – взаимная индуктивность катушек статора;

L₁₂ – взаимная индуктивность между катушками статора и ротора при совпадении осей этих катушек.

Полные потокосцепления всех других катушек определяются по формулам подобным (20.2).

Выражение (20.2) является нелинейным из-за того, что в 4-м, 5-м и 6-м слагаемых содержатся произведения переменных – токов обмоток ротора i₂ и тригонометрических функций от угла φ_ЭЛ. Если оси взаимодействующих катушек совпадают (при φ_ЭЛ=nπ совпадают оси катушек фаз 1А и 2А, оси катушек фаз 1А и 2В совпадают при , а при совпадают оси катушек фаз 1А и 2С), то магнитная связь между катушками максимальная. Если оси взаимодействующих катушек перпендикулярны (при перпендикулярны оси катушек фаз 1А и 2А, при перпендикулярны оси катушек фаз 1А и 2В и при перпендикулярны оси катушек фаз 1А и 2С), то между катушками магнитная связь нулевая.

При известных полных потокосцеплениях всех обмоток и известных активных сопротивлениях обмоток статора R₁ и ротора R₂ система дифференциальных уравнений обмоток АД имеет вид

(20.3)

Эта система уравнений является нелинейной, так как в нее входят нелинейные выражения полных потокосцеплений катушек фаз статора и ротора.

Если описывать АД с короткозамкнутым ротором, то число уравнений ротора возрастает до нескольких десятков.

Недостатки математической модели АД в физических переменных:

1) минимальное число дифференциальных уравнений равно шести (20.3);

2) выражения полных потокосцеплений каждой обмотки содержат минимум по шесть слагаемых (20.2);

3) система дифференциальных уравнений (20.3) нелинейная.

Из-за этих недостатков невозможно решить аналитически систему уравнений (20.3) с тем, чтобы найти токи и потокосцепления обмоток при заданных фазных напряжениях обмоток. Значит, даже задача анализа переходных процессов в АД не решаема, а синтез – тем более не возможен.