1. Дискретное преобразование Фурье

Ранее было рассмотрено несколько методов описания последо­вательностей или дискретных систем. К ним относятся дискрет­ная свертка, преобразование Фурье и z-преобразование. В тех случаях, когда последовательность периодична (или имеет конечную длительность) ее можно представить рядом Фурье. Итак, рассмотрим периодическую последовательностьx_p(n)с периодом вNотсчетов. Ее можно за­писать следующим образом:

x_p(n) = X_p(k) e^j(2/N)kп (1)

причем частоты спектральных составляющих, образующих x_p(n), могут принимать только значения _k = 2k/N, – < k < , поскольку периоды других частот не кратны N. В равенстве (1) коэффициенты X_p(k) представляют амплитуды синусоид с частотами _k. Запись вида (1) избыточна вследствие перио­дичности функции e^j, так как комплексные экспоненты с часто­тами

_k = k = _kmN = (k  mN) при 0 < m < 

не отличаются друг от друга, т. е.

x_p(jkn) = exp [j(k  mN)n].

Следовательно, равенство (5.21) можно переписать в виде

x_p(n) = X_p(k) (2)

– имеется всего N различных комплексных экс­понент с периодом в N отсчетов. Для удобства перепишем равен­ство (5.22) в общепринятом виде

x_p(n) = X_p(k) (ОДПФ) (3)

– деление на N не изменяет способа представления. Чтобы выразить коэффициенты X_p(k) через x_p(n), умножим обе части равенства (3) на exp[–j(2/N)kn] и просуммируем результаты по n:

x_p(n)=X_p(k). (4)

Меняя в правой части (4) порядок суммирования и используя формулу

X_p(k)=

получим

x_p(n)= X_p(k)u₀(k – m) (5)

– периодические последовательности отмечены индексом р.

После перестановки левой и правой частей равенства (5) и замены индекса т на k

X_p(k) = x_p(n). (ДПФ) (6)

Соотношение (6) носит название дискретного преобразования Фурье (ДПФ), а (3) – обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ).

Из определений (3) и (6) видно, что обе последователь­ности x_p(n) и X_p(k) периодичны с периодом в N отсчетов. Ясно также [см. (6)], что X_p(k) полностью определяются одним пе­риодом x_p(n). Отсюда возникает интересный вопрос: как связа­ны z-преобразование конечной последовательности, образован­ной из одного периода периодической последовательности, и ДПФ всей периодической последовательности? Иначе говоря, рассмо­трим последовательность конечной длины

x(n) = (7)

причем последовательность x_p(n) имеет период в N отсчетов, т. е. x(n) представляет собой один период периодической после­довательности x_p(n). z-преобразование x(n) имеет вид

X(z) = x(n) z^–n . (8)

Вычисляя сумму (8) в точке на еди­ничной окружности z–плоскости с полярным углом 2k/N, находим

X(z) = x(n) . (9)

Сравнивая суммы (9) и (6) и учитывая, что x_p(n) = x(n) на интервале 0  n  N – 1, получаем

X_p(k) = X_p(). (10)

Итак, коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины равны значениям z-преобразования этой же последовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружно­сти. Еще более важный вывод состоит с том, что коэффициенты ДПФ последовательности конечной длины однозначно представляют саму последовательность, так как по ним можно точно восстановить исходную последовательность, используя обратное ДПФ. Итак, хотя ДПФ и ОДПФ вводятся для периодических последовательностей, важно, что через них можно представлять последовательности конечной длины.

Пример 6. Для иллюстрации приведенных положений рассмотрим перио­дическую последовательность на рис. 6, а) с периодом N , опре­деляемую как x_p(n) = aⁿ, 0  n  N – 1,

x_p(n + mN) = x_p(n), m = ±l, ±2, ... .

Согласно определению (6), ее ДПФ равно

X_p(k) = aⁿ= [a]ⁿ =

= (1 – a^N) / [1 – a], 0  n  N – 1.

Модули и фазы элементов последовательности X_p(k) для значений а = 0,9 и N = 16 изображены на рис. 6, б).

Последовательность x(n) конечной длины

x(n) = (7)

состоит из одного периода последовательности x_p(n) – ри( 6, а).

z-преобразование последовательности (7) равно

X(z) = aⁿ z^–n = .

Рис.6. Периодическая последовательность

и последовательность конечной длины

Вычисляя значения Х (z) на единичной окружности, получим

X() = .

Модуль и фаза полученной функции для 0    2 и изображе­ны на рис. (6, г). Значения X_p(k) и X_p(e^2k/N) в точках  = 2k/N совпадают.

ДПФ однозначно представляет последовательность конечной длины, поэтому можно найти ее z-преобразование через коэффициенты ДПФ этой последовательности. Из со­отношений (5.27), (5.23) и определения z-преобразования полу­чаем

X(z) = x(n) z^–n = X_p(k).(10)

Равенство (10) доказывает, что z-преобразование последова­тельности непосредственно связано с коэффициентами ее ДПФ. Для точек на единичной окружности равенство (10) принимает вид

X() = X_p(k) .(11)

Здесь функции вида интерполирует значения коэффициентов ДПФ X_p(k) на всю ось частот, следо­вательно, с помощью формулы (11) по коэффициентам ДПФ последовательности конечной длины можно найти ее непрерывный частотный спектр.

Представление конечных последовательностей с помощью ДПФ удобно также для получения значений преобразования Фурье в L точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Для получения требуемого частотного разрешения L может быть выбрано значительно бόльшим, чем N.

Рассмотрим конечную последовательность {x(n), 0  n  N – 1} с преобразованием Фурье

X() =x(n) .

Вычисляя X() на частотах  = 2l/L, l = 0, 1, …, L – l, получим

X() =x(n). (12)

Для достижения более высокого разрешения при расчете преобразования Фурье необходимо увеличить объем выборки при дискретизации (стробировании) аналоговой функции.

Введем новую последовательность длины L точек (L > N):

=

и найдем ее L –точечное ДПФ:

=. (13)

Если = 0 при k  N , то равенство (13) можно запи­сать в виде

=x(n). (14)

Сравнивая (14) и (12), получим = X().

Таким образом, простое дополнение последовательности конеч­ной длины нулевыми отсчетами улучшает условия различения синусоидальных компонент при расчете преобразования Фурье этой последова­тельности для совокупности точек, равномерно распределенных по единичной окружности. При спектральном анализе конечных последовательностей эта несложная операция оказывается одной из наиболее полезных. Частотное разрешение зависит только от длительности сигнала N. Выбор L > N лишь улучшает условия различения синусоидальных компонент.

Итак, ДПФ однозначно представляет после­довательность конечной длины, содержащую N элементов, при­чем коэффициенты ДПФ равны значениям z-преобразования по­следовательности в N точках, равномерно распределенных по единичной окружности. Аналогично z-преобразование любой (в том числе и бесконечной) последовательности однозначно пред­ставляет эту последовательность. Было также показано, что ди­скретизация во временной области приводит к наложению в ча­стотной области.

Можно показать, что дискретизация в частотной области также приводит к наложению во временной области. Рассмотрим сначала, какая получится последовательность, если в качестве коэффициентов ДПФ ваять значения произвольного z-преобразования, вычисленного в N точках, равномерно распре­деленных по единичной окружности. Пред­положим, что последовательность h(n) (не обязательно конечная) имеет z-преобразование

H(z) = h(n) z^–n.