2. Свойства дпф

Некоторые свойства ДПФ играют в практических вопросах обработки сигналов важную роль.

1. Линейность

Если x_p(n) и y_p(n) – периодические последовательности (с периодом в N отсчетов каждая), а X_p(k) и Y_p(k) – их ДПФ, то дискретное преобразование Фурье последовательности x_p(n) + y_p(n) равно X_p(k) + Y_p(k). Это положение справедливо и для последовательностей конечной длины.

2. Сдвиг

Если последовательность x_p(n) периодическая с периодом в N отсчетов, а ее ДПФ равно X_p(k), то ДПФ периодической по­следовательности вида x_p(n – n₀) будет равно X_p(k).

При анализе последовательностей конечной длины необходимо учитывать специфический характер временного сдвига последова­тельности. На рис. 8, а) изображена конечная последова­тельность x(n) длиной в N отсчетов; крестиками () изобра­жены отсчеты эквивалентной периодической последовательности x_p(n), имеющей то же ДПФ, что и x(n).

Рис. 8.

Чтобы найти ДПФ сдви­нутой последовательности

x(n – n₀) при n₀ < N,

следует рассмотреть сдвинутую периодическую последовательность x_p(n – n₀) и в качестве эквивалентной сдвинутой конечной после­довательности (имеющей ДПФ X(k)) принять отре­зок последовательности x_p(n – n₀) в интервале 0  n  N – 1. Таким образом, с точки зрения ДПФ последовательность x(n – n₀) получается путем кругового сдвига элементов последовательности x(n) на n₀ отсчетов.