2. Единицы измерения частоты

Часто возникает необходимость выразить спектральный состав последовательности h(nT) в единицах частоты, связанных с ин­тервалом дискретизации Т. В этом случае равенства (1) и (2) преобразуются к виду

H(e^jT) =; (7)

h(nT) = H(e^jT) e^jnT d. (8)

Функция H(e^jT) периодична по частоте  с периодом, равным 2/T. Частота  в (7) и (8) выражается в радианах в секун­ду (рад/с). Характеристику (7) можно выразить и через частоту f, измеряемую в герцах, если  заменить па 2 f.

Рис.1. Частотная харак­теристика системы

с ин­тервалом дискретизации Т = 0,0001 с.

Пример 1. Если период дискретизации Т = 10^–4 с. (частота дискретизации 1/T = 10 кГц), то H(e^j2fT) – периодическая функция частоты f с периодом 10 кГц и H(e^jT) – периодическая функция  с периодом 210⁴ рад/с.

Типичная частотная харак­теристика для системы с действительной импульсной характеристикой – последовательностью, имеющей ин­тервал дискретизации Т=10^–4сек., приведена на рис. 1. Поскольку последовательность действительная, частотная ха­рактеристика обладает свойствами симметрии.

3. Сравнение аналоговых и дискретных систем

Последовательность x(nT) часто полу­чают путем дискретизации непрерывного колебания x(t) с перио­дом Найквиста – Котельникова Т

x(nT) = x(t)_t=nT .

Важно представлять, каким образом спектр числовой последовательности X(e^jT)  x(nT) связан с преобразованием Фурье X_H(j) непрерывной функции x(t). Установление связи между спектрами имеет практическое значение при разработке цифровых преобразователей.

Пара преобразований Фурье для непрерывной функции x(t)

X_H(j) =x(t) e ^{– jt}dt ; (9)

x(t) = X_H(j)e^–jtd (10)

имеет аналогичный вид для дискретизированной функции x(nT)

X(e^jT) =; (11)

x(nT) = X(e^jT) e^jnT d. (12)

Процесс дискретизации x(nT) = x(t)_t=nT связывает X_H(j) и X(e^jT) закономерностью, которую можно установить, вычислив интеграл (5.10) для t = nT; при этом интеграл с бесконечными пределами следует заменить бесконечной сум­мой интегралов на интервалах длиной 2/T

x(nT) = X_H(j)e^jnTd. (13)

Изменив в (13) порядок действий и заменив  на , получим

x(nT) = [X_H( + m)]e ^jnTd. (14)

Приравнивая подынтегральные выражения в (5.14) и (5.12), по­лучим соотношение между спектрами непрерывной x(t)функции и дискретизированнойx(nT)=x(t)_t=nTфункции

X(e^jT) = X_H( + m). (15)

Из этой формулы видно, что периодическая спектральная функ­ция X(e^jT)дискретизированной последовательности x(nT) состоит из суммы бесконечного числа спектральных компонент непрерывной функции x(t). Если спектр непрерывной функции ограничен диапазоном частот

|  |  /T, т. е. X_H(j) = 0 при || > /T,

то из соотношения (5.15) следует, что в диапазоне частот |  |  /T

X(e^jT) = X_H(j) .

Спектр числовой последовательности x(nT) непосредственно связан со спектром непрерывной функции x(t) – рис. 2, а), б).

Рис.2. Спектры последовательности – б)

и непрерывной функции – а)

Если же X_H(j) не ограничен диапазоном||/T, то соот­ношение между спектрами числовой последовательности x(nT)и непрерывной функцииx(t) более сложное – рис. 5.3.

Спектр непрерывного колебания на рис. 5.3, а) ограничен полосой||3/(2T). Из формулы (5.15) следует, что члены сm= 0, ± 1 дают вклад вX(e^jT)в диапазоне частот | |/T– рис. 5.3,б). Поэтому в отличие от предыду­щего примера (рис.5.2) связь спектра после­довательности со спектром исходного колебания более сложная – рис..3.

Причина в том, что частота дискретизации 1/Tбыла недо­статочной и высокочастотные составляющие спектраX_H(j) попали в область более низких частот в спектреX(e^jT).Такое смещение спектральных составляющих из одного диапазона частот в другой называютналожением(перекрытием) спектров. На рис. (3,в) представлен спектр непрерывного колебанияx(t)с наложе­нием. Наложения можно избежать, стробируя непре­рывные колебания с достаточно высокой частотой – малым интервалом дискретизации.

Рис.3. Эффект наложения участков спектра