!. Цифровые фильтры с бесконечными импульсными характеристиками

Преобразователем (системой, фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называют си­стему, длина импульсной характеристики которой не ограничена. Последователь­ности бесконечной длины составляют основу большого класса методов проектирования цифровых фильтров.

Условия физической реализуемости и устойчивости фильтров с бесконечными импульсными характеристиками (БИХ) накладывают ограничения на импульсные характеристики:

h(n) = 0 при n < 0; .

Общая форма записи z-преобразования импульсной характеристики БИХ–фильтров имеет вид

H(z) = = /( 1 + ) (1)

– по крайней мере, один из коэффициентов a_m отличен от нуля.

В отличие от КИХ–фильтров физически реализуемые, устойчивые БИХ–фильтры не обладают строго линейной фазовой характеристикой; исключение – частный случай, когда все полюсы H(z) размещаются на единичной окружности. Фильтр имеет линейную фазовую характеристику, если H(z) = H(z^–1). Для БИХ–фильтров это условие означает, что каждому полюсу передаточной функции H(z), расположенному внутри единичного круга (модули этих полюсов меньше 1), должен соответствовать зеркально отображенный полюс вне единичного круга, поэтому такой фильтр неустойчивый. При расчете БИХ-фильтров приходится рассматривать аппроксимацию заданных характеристик для анализа условий устойчивости.

Специальный вид БИХ-фильтров, у которых при изменении положения полюсов и нулей меняется только фазовая характеристика, называют всепропускающими цепями. Каждому полюсу передаточной функции H(z) всепропускающей цепи в точке z = re^j, соответствует нуль в точке

z = (1/r) e^j, причем для действительных последовательностей h(n) и полюсы, и нули должны иметь комплексно сопряженные пары – рис.1 .

Рис. 1. Расположение нулей и полюсов