3. Свойства симметрии

Если периодическая последовательность x_p(n) с периодом в N отсчетов действительная, то ее ДПФ X_p(k) удовлет­воряет условиям симметрии:

Re[X_p(k)] = Re[X_p(N – k)], Im[X_p(k)] = –Im[X_p(N – k)],

 X_p(k) =  X_p(N – k) , (5.38)

arg X_p(k) = –arg X_p(N – k).

Аналогичные равенства справедливы и для конечной действитель­ной последовательности x(n), имеющей N-точечное ДПФ X_p(k). Если ввести дополнительное условие симметрии последователь­ности x_p(n), т. е. считать, что x_p(n) = x_p(N – n), то окажется, что X_p(k) может быть только действительной.

Чаще всего приходится иметь дело с действитель­ными последовательностями, поэтому, вычислив одно ДПФ, можно получить ДПФ двух последовательностей, используя свойства симметрии (5.38). Рассмотрим действительные периодические последовательности x_p(n) и y_p(n) с периодами в N отсчетов каждая и N-точечными ДПФ X_p(k) и Y_p(k) соответственно. ДПФ комплексной последовательности

z_p(n) = x_p(n) + j y_p(n)

равно

Z_p(k) =[x_p(n) + j y_p(n)];

Z_p(k) = X_p(n) + j Y_p(n). (19)

Выделяя действительную и мнимую части равенства (19), по­лучим

Re[Z_p(k)] = Re[X_p(k)] – Im[Y_p(k)];

Im[Z_p(k)] = Im[X_p(k)] + Re[Y_p(k)].

Действительные части X_p(n) и Y_p(n) симметричны, а мнимые — антисимметричны, поэтому их легко разделить, используя опера­ции сложения и вычитания:

Re[X_p(k)] = {Re[Z_p(k)] + Re[Z_p(k)]}/2;

Im[Y_p(k)] = {Re[Z_p(k)] – Re[Z_p(k)]}/2;

Re[Y_p(k)] = {Im[Z_p(k)] + Im [Z_p(k)]}/2;

Im[X_p(k)] = {Im[Z_p(k)] – Im [Z_p(k)]}/2.

Итак, вычисляя одно N-точечное ДПФ, удается преобразовать сразу две действительные последовательности длиной по N от­счетов. Если эти последовательности еще и симметрич­ные, то число операций, необходимых для получения их ДПФ, можно сократить еще больше.