3. Частотные характеристики систем второго порядка

Рассмотрим систему второго порядка, разностное уравнение которой имеет вид

y(n) = x(n) + а₁ y(n – 1) + а₂ y(n – 2) (6)

– частный случай уравнения (3.5).

В общем случае уравнение второго порядка содержит также чле­ны вида b₁x(n – 1) и b₂x(n – 2), однако для простоты изложения эти члены опущены. При нулевых начальных усло­виях y(–1) = 0 и y(–2) = 0 нетрудно показать, что, если корни однородного уравнения не совпадают, то импульс­ная характеристика системы может принять одну из двух форм:

h(n) = ₁ + ₂ (I), (7)

где p₁ и p₂ – действительные числа, либо

h(n) = ₁r ⁿ sin(bn + ) (II). (8)

Импульсная характеристика (7) описывает две системы первого порядка.

Выражение (8) описы­вает систему второго порядка, импульсная характеристика кото­рой – затухающая синусоида. Импульсная характери­стика имеет вид (8), когда коэффициенты разностного урав­нения (6) удовлетворяют условию, а₂ < –а₁²/4,из которого следует, что а₂ < 0.

Рис. 3. Частотные характеристики систем второго порядка

Если условие а₂ < –а₁²/4 выполняется, то

r = ; cosb = а₁/ 2,  = b, ₁ = 1/ sinb.

Частотную характеристику, соответствующую импульсной ха­рактеристике (4.8), можно записать следующим образом:

H(e^j) = 1 / [1 – 2 r (cosb) e^–j + r²e^–2j.].

Амплитудные (в логарифмическом масштабе) и фазовые характе­ристики системы второго порядка, соответствующие фиксирован­ному значению b = /4 и различным значениям r, приведены на рис. 3 – система обладает резонансными свойствами.