Ошибки квантования

В реальных устройствах цифровой обработки сигналов необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (усечение) результатов арифметических операций, шум аналого-цифрового квантования входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов (параметров). В дальнейшем с целью упрощения анализа предполагается, что вес источники ошибок независимы и не коррелируют с входным сигналом (хотя мы и рассмотрим явление предельных циклов, обусловленных коррелированным шумом округления).

Эффект квантования приводят в конечном итоге к погрешностями выходных сигналах цифровых фильтров (ЦФ), а в некоторыхслучаяхи к неустойчивым режимам. Выходную ошибку ЦФ будем рассчитыватькаксуперпозицию ошибок, обусловленных каждым независимымисточником.

Квантование чисел– нелинейная операция;m-разрядное двоичное числоА представляетсяb-разрядным двоичнымчислом B=F(A), причем b < m. В результате квантования число А представляется с ошибкой

е =B–А= F(А) –А.

Шаг квантования Q = 2^–b определяется весом младшего числовогоразряда. При квантовании используется усечение или округление.

Усечение числаА состоит в отбрасываниит – b младших разрядов числа, при этом ошибка усечения e_ус= F_ус(А) –А.

Оценим величину ошибки в предположении m » b. Для положительных чисел при любом способе кодирования –2^–b <е_ус  0. Для отрицательных чисел при использовании прямого и обратного кодов ошибка усечения неотрицательна: 0е_ус < 2^–b, а в дополнительном коде эта ошибка неположительна: 0е_ус > –2^–b. Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования:maxe_ус < 2^–b =Q.

Округление m-разрядного числаA доb разрядов (b « m)b-й разряд остается неизменным или увеличивается на единицув зависимости от соотношения (больше – меньше) между отбрасываемой дробью 0,а_b+1...а_т и величиной , гдеа_i–i-й разряд числаA; i = b+1, ...,m. Округление можно практически выполнить путемприбавления единицы к (b+1)-му разряду и усечения полученного числа до b разрядов. В таком случае ошибка округления е_oк = f_ок(А)– А при всех способах кодирования лежит в пределах

–2^–(b+1) < е_oк < 2^–(b+1) (1.11)

и, следовательно, max<2^–b = Q/2. (1.12)

В задачах ЦОС ошибки квантования чисел рассматриваются как стационарный шумоподобный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибок квантования.



(nT) x(nT)

e(nT)

Рис. 3. Линейная модель квантования сигналов:

(nT) —дискретный или m-разрядный цифровой сигнал (m > b);

x(nT) —квантованный b-разрядный цифровой сигнал;

e(nT) = x(nT) –f(nT) — ошибка квантования.

Квантование дискретных сигналов состоит в представлении отсчета (выборки сигнала) числамиx(nT), содержащими b числовых разрядов. Квантование сигналов, как и квантование чисел – нелинейная операция. Однако при анализе процессов в ЦФ целесообразно использовать линейную модель квантования сигналов – рис. 3.

Верхнее значение ошибки квантования определяетсясоотношением (1.11) или (1.12).

Вероятностные оценки ошибок квантования основаны на предположениях о том, что последовательностье(пТ)являетсястационарным случайным процессом с равномерным распределением вероятности по диапазону ошибок квантования ие(пТ) не коррелирован с f(nT). Математическое ожидание (среднее значение) _e и дисперсия ошибки квантованияе определяются по формулам:

=E(е) =,

===E(е²) –,

где р_е — плотность вероятности ошибки. По этим формуламвычисляются математическое ожидание и дисперсия для ошибок округления и усечения:

=

=

В логарифмическоммасштабе

=

Лекция 2