1) Ось из s–плоскости должна отображаться в единичную окружность на z – плоскости;

2) точки из левой половины s–плоскости (для них {Re[s]<0}) после отображения располагаются внутри единичной окружности на z – плоскости – для отображенных точек z < 1.

Обратные разности: при отображении непрерывного пространства в дискретное пространство используется замена

dy(t)/dt  [y(n) – y(n – 1)] / T.

С точки зрения операторов такая замена соответствует соотношению s = (1 – z ^–1 ) / T или z = 1 / (1 – s T ).

Прямая – уравнение s = j (при – <  <  ) отображается на z – плоскости в окружность с центром в координатах Re[z] = ½, Im[z], с радиусом r = ½. Видно, что условие 1 (ось из s–плоскости должна отображаться в единичную окружность на z – плоскости) не выполняется. Можно показать, что условие 2 выполняется, т.е. аналоговый фильтр отображается в устойчивый цифровой фильтр, но не выполнение условия 1 означает, что избирательные свойства при отображении не сохраняются.

Прямые разности: при отображении непрерывного пространства в дискретное пространство используется замена

dy(t)/dt  [y(n + 1) – y(n)] / T.

Такая замена соответствует соотношению s = (z – 1) / T

или z = 1 + sT. Прямая линия – уравнение s = j отображается на z – плоскости в прямую линию z = 1 + j T .

Оба требования, предъявляемые к отображениям, при использовании прямых разностей не удовлетворяются.

Обобщенные разности: при отображении непрерывного пространства в дискретное пространство используются разности высокого порядка для замены дифференциалов низкого порядка

dy(t)/dt  [ y(n + i) – y(n – i)],

где L – порядок используемых разностей.

Соотношение между операторами, описывающее отображение s– плоскости в z – плоскость, имеет вид

s = (z ⁱ – z^–i). (3)

Такое отображение удовлетворяет первому требованию.

При z = e^jT оператор s имеет вид s = j () – единичная окружность на z – плоскости будет результатом отображения оси j из s – плоскости. Подставив z = e^jT в (8.34), получим s = j ().

Выбрав соответствующим образом значения коэффициентов _i, можно добиться того, что функция () будет аппроксимировать практически любую заданную нечетную функцию от частоты , так что ось j из s – плоскости монотонно отображается в единичную окружность на z–плоскости. Можно показать, что отображение, описываемое оператором (8.34) конформное (conformis – подобный, соответствующий; конформность – сохранение величины углов при отображении). Таким образом, оба требования, предъявляемые к отображениям, при использовании обобщенных разностей удовлетворяются.

2. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики называют также методом стандартного z–преобразования.

Импульсную характеристику рассчитываемого цифрового фильтра можно получить дискретизацией импульсной характеристики аналогового фильтра – прототипа. Частотная характеристика цифрового фильтра образуется путем наложений частотной характеристики дискретизированного аналогового фильтра. Передаточную характеристику аналогового фильтра (8.34) при условии M < K можно разложить на простые дроби:

H(s) = , (4)

где c_k = H(s)(s + d_k)_{s = – d(k)}; каждый коэффициент d_k определяет положение k–го полюса. Если условие M < K не выполняется, то наложения в частотной характеристике цифрового фильтра будут недопустимыми.

Импульсная характеристика аналогового фильтра с передаточной функцией (8.35) имеет вид

h(t) = e^–dkt u_–1(t). (5)

После дискретизации получим

h(n) = u_–1(n). (6)

Найдем z-преобразование дискретизованной импульсной характеристики (8.36)

H(z) = = z^–n .

Изменив порядок суммирования, получим

H(z) =. (7)

Из сравнения (7) и (4) видно, что для простых полюсов переход от H(s) к H(z) соответствует отображению

1/(s + d_k)  1/(1 – z^–1e^–dk).

Если полюсы d_k комплексные, то остатки c_k в (4) также комплексные. Функция h(t) действительная, поэтому должны существовать комплексно сопряженные полюсы d^*_k и комплексно сопряженные остатки c^*_k.

Рис.1. Отображение из s-плоскости на z-плоскость

Смежные горизонтальные полосы шириной изs-плоскости отображаются на z-плоскость, накладываясь, друг на друга, – рис. 1. Поэтому необходимое условие при инвариантном преобразовании – полоса пропускания аналогового прототипа должна находиться в пределах диапазона       .

Для выполнения этого условия необходимо до преобразования аналог–цифра (D/A – АЦП) использовать ФНЧ, гарантирующий соответствующее ограничение спектра сигнала.

3. Согласованное z – преобразованиеосновано на непосредственном отображении полюсов и нулей из s–плоскости в полюсы и нули на z–плоскости. Полюс или нуль в точке s = – a, плоскости s отображается в полюс или нуль в точке z = e^–aT плоскости z. При согласованном z–преобразовании отображающая замена имеет вид

s + a  1 – z^–1 e^–aT.

Метод согласованного z–преобразования довольно прост в использовании, однако во многих случаях он неприменим. Например, если центральные частоты аналогового фильтра, соответствующие его нулям, превышает половину частоты дискретизации, то положение нулей цифрового фильтра существенно искажается эффектом наложения. Согласованное z–преобразование неприменимо также в случае, когда передаточная функция аналогового фильтра имеет только полюсы.

Инвариантное преобразование импульсной характеристики и билинейное преобразование предпочтительнее согласованного z–преобразования.

4. Билинейноеz-преобразование –простое конформное отображение s-плоскости в z-плоскость – заключается в замене

s= =, (8)

где γ – постоянный множитель, значение которого не влияет на форму преобразования; его значение может быть равным γ = .

При билинейном преобразовании отсутствует эффект перекрытия участков спектра, присущий инвариантному преобразованию импульсной характеристики. Билинейное преобразование занимает особое место в практике проектирования.

Из 8) можно найти обратное соотношение

z = ( + s) / ( – s). (9)

Использование подстановки (8.38) обеспечивает однозначное преобразование передаточной функции Т(s) аналогового фильтра-прототипа (АФ-прототипа) в передаточную функцию H(z) цифрового фильтра:

H(z) =Т(s)(10)

Рассмотрим преобразование (8). Каждой точке комплексной s-плоскости (s = ∑+ j Ω) ставится в соответствие определенная точка z-плоскости z = ехр(σ+j)Т.

Мнимая ось s-плоскости (s = j Ώ для –∞ < Ώ < ∞) отображается в единичную окружность z-плоскости z = ехр(jT).

При s = j Ώ из (8.40) получаем z = (γ+j Ώ)/( γ – j Ώ).

Последнее выражение можно представить в показательной форме

z = r е^j(Ώ)

– выделить модуль r = z| и аргумент (Ώ) = 2 arctg (Ώ/γ).

Очевидно, что r = 1.

При монотонном изменении Ώ от – ∞ до ∞ фазовый угол (Ώ) монотонно изменяется от – π до π, т. е. точка jΏ₁, расположенная на мнимой оси в s-плоскости, отображается в соответствующую точку

exp(j2arctg(Ώ₁/γ)).

В частности, для Ώ = 0 имеем z = exp(j 0) = l, для Ώ = ∞ получаем

z = eхр(j π) = – 1 и для Ώ = – ∞ имеем z = exp(–j π) = – 1.

Левая половина s-плоскости

Re(s) = Re (∑ + j Ω) < 0

отображается в часть z-плоскости внутри единичного круга (|z|<1). Действительно, при Rе(s) < 0 имеем ∑ < 0. Тогда из (8.40) можно получить

(12)

Последнее выражение можно представить в показательной форме, т.е. выделить модуль r и аргумент 

z = r e^jw(Ώ), (13)

Значение ∑ < 0, поэтому модуль числителя в (8.42) всегда меньше модуля знаменателя, т.е. r = |z| < 1.

Рис.2. Билинейное преобразование

Отображение мнимой оси и левой половины s-плоскости в единичную окружность и часть z-плоскости внутри единичного круга показаны на рис. 8.2.Здесь важно учитывать два обстоятельства.

Во-первых, все полюсы устойчивого аналогового прототипа расположены в левой половине s-плоскости, поэтому преобразование приведет к устойчивому цифровому фильтру.

Во-вторых, так как мнимая ось s-плоскости отображается на единичную окружность z-плоскости, то все максимумы и минимумы АЧХ |T(jΏ)| аналогового фильтра сохраняются и в АЧХ |H(e^j)| цифрового фильтра. Сохраняется также и неравномерность АЧХ для соответствующих диапазонов частот. Таким образом, избирательные аналоговые фильтры преобразуются в соответствующие цифровые фильтры. Например, аналоговый фильтр-прототип нижних частот с неравномерностью АЧХ в полосе пропускания ΔА_п и отклонением АЧХ от нуля в полосе непропускания ΔА₃ преобразуется в соответствующий цифровой фильтр нижних частот с параметрами ΔА_п и ΔА₃.

Ώ

w

0 /4

Рис.3. Деформация шкалы частот

Недостаток билинейного преобразования – соотношение между «аналоговыми» частотами Ώ и «цифровыми» частотами w, которое можно получить из (8.38), нелинейное:

(14)

где w = /_д – нормированная «цифровая» частота.

При переходе от аналогового прототипа к цифровому фильтру деформируется шкала частот – рис. 8.3, 8.4.

Деформация шкалы частот частотно-избирательных фильтров (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ), аппроксимируемая АЧХ которых имеет вид кусочно-постоянной функции, не приводит к нарушению избирательных свойств фильтра при билинейном преобразовании. Деформацию шкалы частот можно скомпенсировать с помощью предыскажений в аналоговом фильтре. Параметр γ в подстановке (8.38) выбирается на основании соотношения

γ = ctg(_г.п T/2) = ctg(w_г.п). (8.45)

Для получения цифрового фильтра НЧ с граничной частотой полосы пропускания _г.п (w_г.п) надо в качестве прототипа использовать аналоговый фильтр с нормированной АЧХ – с частотой среза Ώ_с = 1.

При билинейном преобразовании передаточная функция цифро­вого фильтра Н(z) рассчитывается с помощью алгебраической под­становки (8.38). Из этого соотношения видно, что порядки знаменателей функций Н(z) и Н(s) совпадают, но порядки числителей могут отличаться.

Передаточная функция Н(s) = 1/(s + a) имеет числитель нулевого порядка, а знаменатель — первого по­рядка. В то же время получаемая методом билинейного преобра­зования функция

Н(z) =

имеет и числитель, и знаменатель первого порядка. Причина этого в том, что функция Н(s) имеет нуль на бесконечности (s = ), который при билинейном преобразовании отображается в точку z = 1.

Рис. 4. Деформация частотной шкалы

при билинейном преобразовании

В единичную окружность на z-плоскости отображается вся ось jΏ из s-плоскости, поэтому эффекты, связанные с наложениями в частотной характеристике цифрового фильтра, характерные для метода инвариантного преобразования импульсной характе­ристики, в данном случае отсутствуют. Однако соотно­шение между частотами аналогового фильтра Ώ и цифрового фильтра w оказывается существенно нелинейным. Характер этой нелинейности можно увидеть, положив в (8.38) z = e^{j T} и s = jΏ, что дает (8.44). Это соотношение представлено на рис. 8.3 для случая Т = 2. При небольших  отображение почти линейно, однако для основной части частотной шкалы оно существенно нелинейно и сильно огра­ничивает область применения билинейного преобразования.

Амплитудная характеристика преобразуемого аналогового фильтра должна быть ступенчатообразной функцией часто­ты, так как в противном случае частотная характеристика цифрового фильтра будет представлять собой деформированную характе­ристику аналогового фильтра. По этой причине, например, били­нейное преобразование нельзя использовать для преобразования аналогового дифференцирующего фильтра в цифровой дифферен­циатор. Существует, правда, довольно большой класс фильтров, для которых частотная деформация, описываемая соотношением (8.44), может быть скомпенсирована. К ним относятся фильтры нижних и верхних частот, полосовые и режекторные. Метод ком­пенсации деформации достаточно прост – рис. 4.

Совокупность характерных частот среза цифрового фильтра известна. Пусть в данном случае их будет четыре: ₁, ₂, ₃ и ₄ – рис. 8.4 (справа внизу). Используя нелинейное соотношение (8.44) между частотными шкалами цифрового и аналогового фильт­ров, пересчитаем все частоты среза цифрового фильтра в час­тоты среза аналогового фильтра, которые будут равны Ώ₁, Ώ₂, Ώ₃, Ώ₄ – рис. 4 (слева вверху). Теперь рассчитаем аналоговый фильтр, все характерные частоты которого совпадали бы с этими пересчитанными частотами среза цифрового фильтра. Амплитудная характеристика такого аналогового фильтра изображена на – рис. 4 слева вверху. Выполнив билинейное преобразование этого аналогового фильтра, получим цифровой фильтр, все частоты среза которого будут совпадать с заданными.

Билинейное преобразование обеспечивает простое отобра­жение между аналоговыми и цифровыми фильтрами и является алгебраическим преобразованием, при котором ось jΏ полностью отображается в единичную окружность на z-плоскости. Кроме того, ему присуще свойство отображать физически реализуемый устойчивый аналоговый фильтр также в физически реализуемый и устойчивый цифровой фильтр. Более того, аналоговые широкопо­лосные фильтры с резкими скатами могут быть отображены в широ­кополосные цифровые фильтры с резкими скатами без искажений частотной характеристики, связанных с наложениями, которые характерны для метода инвариантного преобразования импульс­ной характеристики. Недостаток метода билинейного преобразо­вания в том, что эффекты нелинейности соотношения между частотными шкалами аналогового и цифрового фильтров удается учесть лишь в том случае, когда частотпая характеристика аналогового фильтра имеет вид ступенчатообразной функции. Кроме того, при билинейном преобразовании ни импульсная, ни фазовая характеристики аналогового и цифрового фильтров не будут совпадать.

В таблице 1 приведены аналогичные формулы для преобразований АФНЧ  ЦФВЧ, АФНЧ  ЦПФ, АФНЧ  ЦРФ. В преобразованиях АФНЧ  ЦПФ и АФНЧ  ЦРФ в формулах замены переменной и связи «аналоговых» частот с «цифровыми» частотами имеется дополнительный параметр , который рассчитывается по формулам, приведеным в соответствующей графе таблицы. Этот параметр выбирается с учетом деформации частотной шкалы. Например, цифровой полосовой БИХ-фильтр должен так преобразовывался в аналоговый ФНЧ, чтобы w_г.п2 преобразовывалась в Ώ =Ώ_с= 1, w_г.п1 преобразовывалась в Ώ =–Ώ_с= –1, а некоторая точка из диапазона [w_г.п1, w_г.п2], т.e. из полосы пропускания, преобразовывалась в Ώ =0. Деформацией частотной шкалы при преобразовании обусловлено то, что граничная частота Ώ_k определяется по двум формулам и из двух значений Ώ'_k и Ώ″_k выбирается меньшее.

С помощью формул в таблице 8.1 можно рассчитать параметры преобразования, граничные «аналоговые» частоты нормированного АФ-прототипа нижних частот (Ώ_с= 1) для четырех типов БИХ-фильтров, требования к граничным «цифровым» частотам таких фильтров. Граничные «цифровые» частоты w_г.з1, w_г.п1, w_г.п2 и w_г.з2 для полосового фильтра приведены на рис. 8.6.

Параметры преобразования γ и α рассчитываются на основе заданных значений граничных частот:

γ = ctg(π(w_г.п2 – w_г.п1));

α = [cos π(w_г.п2 + w_г.п1)] / [cos π(w_г.п2 – w_г.п1)].

Рассчитанные значения γ и α позволяют в качестве прототипа использовать нормированный аналоговый ФНЧ с частотой среза Ώ_с= 1. Напомним, что АЧХ фильтра – четная функция частоты A(Ώ) = A(–Ώ).

Рис. 5. Преобразование АФНЧ ЦФНЧ.

Преобразование аналогового ФНЧ-прототипа в полосовой цифровой фильтр (рис.8.6) приводит к преобразовыванию «аналоговой» частоты

Ώ= – Ώ_с= –1 в «цифровую» частоту w_г.п1 = 0,1, а Ώ_с= 1 преобразовывается в w_г.п2 = 0,2. Для проверки можно воспользоваться формулой (из таблицы 8.1), устанавливающей связь между «аналоговыми» и «цифровыми» частотами, подставив в нее в качестве w значения w_г.п1 = 0,1 иw_г.п2 = 0,2.

Граничная частота полосы непропускания аналогового ФНЧ рассчитывается на основе заданных значений граничных частот w_г.з1 и w_г.з2. Обратите внимание на то, что цифровой частоте w_г.з1 соответствует «отрицательная» аналоговая частота Ώ^'_k, a частоте w_г.з2 – «положительная» частота Ώ_k" – рис. 6.

Поскольку АЧХ аналогового ФНЧ симметрична относительно Ώ= 0, необходимо в качестве значения Ώ_k выбрать наименьшее по модулю из значений Ώ^'_k и Ώ″_k. Если в передаточной функции аналогового ФНЧ с граничными частотами Ώ_c и Ώ_k заменить переменную

s = γ(1 – 2 αz ^–1 + z ^–2),

то получим цифровой БИХ-фильтр, у которого граничные частоты w_г.з1, w_г.п1 и w_г.п2 соответствуют заданным, w^*_г.з2 – реальная граничная частота полосы задерживания меньше, чем заданное значение w_г.з2 – рис. 8.6. Это, как правило, допустимо, поскольку избирательные свойства полученного фильтра лучше заданных требований – ширина переходной полосы (полосы «расфильтровки») становится меньше.

Рис. 6.Преобразование АФНЧ  ЦПФ.