logo
Цифровая обработка сигналов Лекции / Цифровая обработка сигналов Лекции

6. Обратное z-преобразование

Переход от z-образа X(z) к по­следовательности x(n) называется обрат­ным z-преобразованием и формально определяется соотношением

x(n) = ,(19)

где С– замкнутый контур вz– плоскости, охватывающей все особенности функцииX(z)z n – 1.

Интеграл (5.19) вычисляется с помощью теоремы о вычетах. Функция x(n) определяется суммой вычетов подынтегральной функции в полюсах, расположенных в области, охватываемой контуромС,

x(n) = Reszk (X(z) z n – 1), (20)

где Reszk (X(z)z n – 1) – вычет в простом полюсе, который равен

Reszk (X(z)z n – 1) =limzzk((z zk) X(z)z n – 1).

Один из способов вычисления (5.19)

x(n) = .

Если X(z)– дробно-рациональная функция, то ее можно разложить на простые дроби:

X(z) = k / (1 – k z–1).

В этом случае, используя свойство линейности, с учетом (20) получим решение в виде суммы

x(n) = k (k) n.

Лекция 5