Импульсная характеристика

1. Свертка последовательностей

Если x_p(n) и h_p(n) – две периодические последовательности с периодами по N отсчетов и ДПФ, равными

X_p(k) = x_p(n); (ДПФ) (1)

H_p(k) = h_p(n), (2)

то N-точечное ДПФ последовательности y_p(n) – кру­говая (или периодическая) свертка последовательностей x_p(n) и h_p(n)

y_p(n) =x_p(n) h_p(n – l), (3)

равно

Y_p(k) = H_p(k) X_p(k). (4)

Из формулы (4) получаются важные следствия.

Рисунок.1 иллюстрирует круговую (периодическую) свертку. Периодические последовательности x_p(n) и h_p(n) изображены на рис. (1. а), б), а вычисление значения круговой свертки (6.3) при п = 2 показано на рис. (1, в). В силу периодичности последовательностей x_p(l) и h_p(n – l) достаточно рассматривать их на интервале 0  l  N – 1.

С изменением номера отсчета n последовательность h_p(n – l) смещает­ся относительно x_p(l). Когда отсчет h_p(n – l) выходит за точку l = N – 1, точно такой же отсчет появляется в точке l = 0 – периодическая свертка определяет свертку двух последователь­ностей, заданных на окружности.

Рис. 1. Круговая свертка

Формулу (4) можно получить, найдя N-точечное ДПФ правой части (6.3), т. е.

Y_p(k) =[x_p(l) h_p(n – l)]= H_p(k)X_p(k).

Полученная формула справедлива и для конечных последова­тельностей, если рассматривать x_p(n) и h_p(n) как эквивалентные им периодические последовательности с теми же ДПФ. Однако для конечных последовательностей обычно нужна линейная (ее называют апериодической), а не круговая свертка, поэтому в при­веденные формулы следует внести уточнения.