Определим набор коэффициентов дпф

H_p(k) = H(z)_{z=exp(j2k/N)} = h(n) . (15)

По этим коэффициентам можно найти периодическую последова­тельность h_p(n), равную

h_p(n) = H_p(k) . (16)

Подставляя значения коэффициентов (15) в формулу (16) и, заменяя индекс суммирования n на m, получим

h_p(n) = h(m)u₀(m – n + rN)

или h_p(n) =h(m – rN). (17)

Соотношение (17) показывает, что в результате обратного ДПФ набора значений z–преобразования непериодической после­довательности, вычисленных в N точках, которые равномерно распределены по единичной окружности, получается периодическая последовательность, состоящая из сдвинутых и наложенных копий исходной непериодической последователь­ности.

Соотношение (17) показывает, что периодическая последовательность, получаемая из обратного ДПФ набора значений z–преобразования непериодической после­довательности, вычисленных в N точках, которые равномерно распределены по единичной окружности, состоит из сдвинутых и наложенных копий исходной непериодической последователь­ности. Если длина последовательности h(n) не превышает N от­счетов, то наложение в h_p(n) фактически отсутствует.

Рис. 7. Последовательности h(n) и h_P(n)

Равенство (17) также показывает, что искажения, связанные с наложением, которые возникают при описании бесконечной последовательно­сти конечным числом N коэффициентов ДПФ, уменьшаются при увеличении N.

На рис. 7 изображены две последовательности h(n) и соответствующие им N-точечные периодические эквиваленты. В первом примере длина последовательности h(n) близка к N, поэтому h_p(n) повторяет ее почти без искажений; во втором примере длина h(n) значительно больше N, поэтому периодиче­ская последовательность заметно отличается от исходной последовательности.