2.1.1.3 Лінеаризація рівнянь сак

Рівняння багатьох реальних елементів і САК в цілому тією чи іншою мірою є нелінійними. У цьому разі змінні x(t) , y(t) і їхні похідні входять у вираз для функції F у вигляді добутків, часток, ступенів або інших більш складних функцій. Розглянемо приклад.

Приклад 2.3. Складемо математичну модель ДПС із незалежним збу-дженням, принципова схема якого наведена на рис. 2.8.

Рис – 2.8. Принципова схема ДПС:

R_я , L_я - відповідно активний опір та індуктивність якірної обмотки; R_доп , L_доп - активний опір і індуктивність додаткових елементів якірного ланцюга (щіток, додаткових полюсів і т.п.); i_яц(t) - струм якірного ланцюга; i_в(t) , R_в , L_в - відповідно струм, активний опір і індуктивність обмотки збудження; J_д і J_н - моменти інерції якоря двигуна і навантаження; w(t) - кутова швидкість обертання вала якоря;

M_д(t) - момент, що розвивається двигуном; Ф (t) - магнітний потік полюсів.

Рішення.

Математичну модель двигуна визначимо для загального випадку керування як по ланцюгу якоря, здійснюваного за допомогою зміни напруги u_д(t) , так і по ланцюгу збудження, здійснюваного за допомогою зміни напруги збудження u_в(t), при дії на двигун збурювання у вигляді моменту опору M_с(t) наявного навантаження.

За вхідні сигнали приймемо u_д(t) , u_в(t) і M_с(t), а в якості вихідного -w(t)

Зробимо допущення, що:

• параметри R_я , L_я , R_в , L_в , R_доп і L_доп є постійними;

• зв'язок робочого механізму з валом двигуна здійснюється без зазору (люфту) і є абсолютно твердим;

- приведений до валу двигуна момент опору не залежить від швидкості; - вплив вихрових струмів у станині і полюсах двигуна, а також грузлого (швидкісного) тертя дорівнює нулю.

Фізику процесів у ДПС на основі даних літературних джерел можна описати наступною системою рівнянь:

- рівнянням електричної рівноваги для ланцюга обмотки якоря

(2.9)

- рівнянням електричної рівноваги для ланцюга обмотки збудження

- рівнянням кривої намагнічування (гістерезис не враховується);

• рівнянням руху

(2.12)

витків обмотки збудження.

а його обертаючий момент співвідношенням

де c = pN /(2p a) - машинна постійна; p - число пар полюсів; N - число ефективних проводів якоря; a - число паралельних віток обмотки якоря. Підставивши (2.10) і (2.11) в (2.6) і (2.9), одержимо систему:

Рівняння (2.13) і (2.14) містять добутки функцій, а рівняння (2.11) за визначенням є нелінійним. Аналіз і аналітичне вирішення нелінійних рівнянь, а тим більше систем є складним і не завжди здійсненним завданням.

Ефективним засобом вирішення (2.15) є використання чисельних методів. Для цього (2.15) зручно перетворити до наступного вигляду:

На рис. 2.9 представлена блок-схема реалізації процесу рішення (2.16) засобами структурного програмування пакета Simulink.

Таким чином, ДПС з незалежним збудженням являє собою складний об'єкт, що має три входи – ті що задають u_д(t) і u_в(t) , а також тий що збурює M_с(t) впливи.

Рис . 2.9 – Реалізація системи (2.13) засобами Simulink

За наведеною схемою можна проводити розрахунки при певних (взагалі ж, будь-яких) параметрах вхідних сигналів і одержувати ті чи інші приватні результати. Тому така модель може бути з успіхом використана на стадії остаточної перевірки результатів виконуваного аналізу або синтезу САК. Однак застосувати багато апробованих методів лінійної ТАК в цьому разі неможливо. У зв'язку зі складністю аналізу і вирішення нелінійних рівнянь широко застосовується наближена їхня заміна на лінійні – лінеаризація. Існує кілька методів лінеаризації. Найбільше поширення одержав метод малих відхилень, що дозволяє лінеаризувати як нелінійні алгебраїчні характеристики окремих елементів, під якими розуміються залежності вихідних величин від вхідних у сталому режимі, так і нелінійні диференціальні рівняння. Необхідними й достатніми умовами застосування методу є наступні дві вимоги:

- відхилення змінюваних змінних від їхніх сталих значень протягом усього процесу керування повинні бути достатньо малі;

– функція F ( x(t), х^′(t), y(t), y′(t), у′′(t) ... , yⁿ(t)) , складова лівої частини рівняння (2.1), має безперервні частки похідні по всіх своїх аргументах на околицях точки, що відповідає сталому режиму.

Достатня малість відхилень змінних від сталих значень звичайно вико-нується, чого вимагає сам принцип побудови замкнутої системи (принцип керування за відхиленням).

В основу методу лінеаризації покладене розкладання в ряду Тейлора, що дозволяє розкласти нелінійну функцію декількох змінних за ступенями малих відхилень цих змінних на околицях значень, що відповідають заданому сталому режиму. За сталий режим можна вибирати режим, що існував до початку дії збурювання, або режим, що встановиться після загасання перехідного процесу.

Розглянемо нелінійне диференціальне рівняння другого порядку вигляду

Перепишемо рівняння (2.17), скориставшись розкладанням Тейлора

відхилення змінних від сталих значень; – значення приватних похідних, обчислені в точці заданого сталого режиму; R – залишковий член розкладання, що містить різні добутки відхилень відповідних аргументів, а також їхні ступені, тобто величини вищих порядків малості.

Скориставшись умовою про те, що відхилення змінних малі, у розкладанні залишаємо тільки члени, що містять ці відхилення в перших ступенях, тобто приймаємо, що R » 0 .

Віднявши з рівняння (2.18) рівняння сталого режиму

остаточно одержуємо

Рівняння (2.19) не містить нелінійних членів і є лінійним. Коефіцієнти рівняння є постійними або змінними, якщо сталий режим характеризується змінними в часі значеннями x₀ (t) , y₀(t) , f₀(t) (програмною траєкторією). Однак при цьому слід враховувати, що в результаті лінеаризації одержуємо рівняння у відхиленнях. Змінними рівняння (2.19) є відхилення Dx(t) і Dy(t) , а не змінні x(t) і y(t) , що відповідає переносу початку координат у точку сталого режиму.

У випадку лінеаризації нелінійної алгебраїчної характеристики якогось елемента лінеаризоване рівняння записується також у відхиленнях. Наприклад, якщо y(t) є нелінійною функцією аргументу x(t) див. рис. 2.10, то F ( x(t), y(t)) = y(t) - f [x(t)] і лінеаризоване рівняння такого елемента має вигляд:

де a - кут нахилу дотичної до точки

Урахувавши рівноваги [x₀, y₀] , остаточно одержимо:

Рис. 2.10 – Геометрична інтерпретація лінеаризації рівнянь

З рисунка видно, що чим менше величини відхилень Dx(t) , тим точніше лінеаризоване рівняння відображає процеси, описувані вихідним рівнянням.

Відмітимо, що лінеаризація неприпустима в тих випадках, коли елемент має істотно нелінійну статичну характеристику, наприклад релейну. Лінеаризація нелінійного рівняння в цьому випадку означатиме зміну принципу роботи цього елемента.

Приклад 2.4. Зробимо лінеаризацію математичної моделі ДПС із незалежним збудженням з прикладу 2.3. Вирішення. Спочатку лінеаризуємо рівняння (2.13). Запишемо його в такий спосіб:

F \e_д (t), w(t),Ф(t)\ = e_д(t)-c× w(t) × Ф(t) = 0 (2.21)

Лінеаризуємо функцію (2.21) на околицях базових значень змінних e₀ , w₀ і Ф₀ , що відповідають сталому режиму. Маємо

Згідно з (2.21)

Врахуємо, що

і запишемо рівняння (2.9) у відхиленнях

Перетворивши (2.25) і (2.24) за Лапласом та виключивши проміжну змінну DE_д (s) , одержимо:

Лінеаризуємо рівняння (2.14). Запишемо його в такий спосіб:

Лінеаризуємо функцію (2.27) на околицях базових значень змінних M_д,0 , i_яц,0 і Ф₀ , що відповідають сталому режиму: Згідно з (2.27)

Підставивши вираз (2.28) в (2.27), одержимо:

Запишемо у відхиленнях рівняння (2.12):

Перетворивши (2.29) і (2.30) за Лапласом і виключивши проміжну змінну DM_д (s) , одержимо:

Виключимо з рівнянь (2.26) і (2.31) відхилення потоку D Ф ( s ) й відхилення струму D I_яц(s).Для цього скористаємося залежністю між потоком Ф(t ) і струмом порушення i_в(t ), що визначається кривою намагнічування (2.11) і також є нелінійною.

Лінеаризувавши функцію F = Ф(t)- f[i_в(t) w] на околицях базових значень змінних, i _в,0 і Ф₀, відповідно до (2.20) одержимо:

Запишемо у відхиленнях рівняння (2.10):

Перетворивши (2.29) і (2.30) за Лапласом і виключивши проміжну змінну DI_в (s) , одержимо:

З урахуванням (2.26), (2.31) і (2.34) система рівнянь ДПС із незалежним збудженням (2.15) набуде вигляду:

де T_э = L_S / R _S – електромагнітна постійна часу; електромеханічна постійна часу;

T_в = L_в / R_в - постійна часу обмотки збудження;

k _{д ,u} = 1(cФ₀) - передаточний коефіцієнт двигуна за напругою kд,

М = R _S - передаточний коефіцієнт двигуна за моментом