3.2 Частотні характеристики
Частотні характеристики описують передаточні властивості САК в ре-жимі сталих гармонійних коливань, викликаних зовнішнім гармонійним впливом. Ці характеристики широко використовують в ТАК, тому що реальні зовнішні впливи можуть бути представлені у вигляді суми гармонійних сигналів. Вони визначаються змушеною складовою рішення диференціального рівняння при подачі на вхід впливу:
Представимо вплив (3.13) за допомогою формули Ейлера у вигляді суми двох експонентних впливів:
де
і
Вирішимо (3.1), підставивши в праву частину вираз (3.14). При цьому будемо шукати тільки змушену складову рішення yв(t) .
Використовуючи принцип суперпозиції, рішення yв(t) можна подати у вигляді двох складових
де у1(t) –рішення при
Будемо шукати y1(t) у вигляді:
З останнього виразу маємо:
W( jw) називають частотною передаточною функцією . Зрівнявши (3.18) з виразом для передаточної функції W(s) , можна зробити висновок про те, що W( jw) є частковим випадком W(s) при s = jw.
Скориставшись прямим перетворенням Фур,є
можна зробити наступне визначення: частотною передатною функцією називається відношення вихідної величини до вхідної, перетворених за Фур'є при нульових початкових умовах.
W( jw), як і будь-яка функція комплексної змінної, може бути представлена в алгебраїчній і показовій формах.
Алгебраїчна форма:
де P(w) і Q(w) - речовинна і мнима частини відповідно. Показова форма:
де - модуль, а - аргумент
Підставивши (3.20) в (3.17), одержимо:
(3.21)
Аналогічно одержимо складову у2(t)
Склавши (3.21) і (3.22) остаточно маємо
Таким чином, при гармонійному впливі на вході вихідна величина після закінчення перехідного процесу (yc(t) = 0 ) також змінюється за гармонійним законом, але з іншою амплітудою і фазою. При цьому відношення амплітуд вихідної і вхідної величин дорівнює модулю, а зміщення фаз – аргументу W( jw). Крива, що описує кінець вектора частотної передатної функції на комплексній площині при зміні частоти від 0 до ¥, називається амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ).
Крім АФЧХ, що є самою загальною частотною характеристикою, розрізняють наступні види частотних характеристик:
амплітудна частотна характеристика (АЧХ) – графік функції
A(w) = W( jw) ;
фазова частотна характеристика (ФЧХ) – графік функції j(w) = Arg W( jw) ;
речовинна частотна характеристика – графік функції P(w) = Re W( jw) ;
мнима частотна характеристика – графік функції
Q(w) = Im W( jw) .
З порівняння (3.23) і (3.13) випливає важлива властивість частотних характеристик - можливість їхнього експериментального визначення на реальному об'єкті.
Приклад 3.4. Визначити частотні характеристики для умов прикладу 3.3.
Вирішення.
Перетворимо вихідне рівняння за Лапласом при нульових початкових
Звідси можна одержати вираз для передаточної функції:
Зробивши заміну s = jw,маємо:
Одержимо алгебраїчну форму подання W(jw):
Звідси
Відповідні графіки подані на рис. 3.5.
Рис. 3.5 – Частотні характеристики
- 6.050701 «Електротехніка та електротехнології»)
- 1. Структура та елементи систем автоматичного керування
- 1.1. Сутність та структура сак
- 1.1.1. Сутність автоматичного керування
- 1.1.2. Основні поняття автоматичного керування
- 1.1.3. Історія розвитку теорії автоматичного керування
- 1.1.4. Приклади системи автоматичного керування
- 1.1.5. Область застосування систем автоматичного керування
- 1.2. Класифікація та основні принципи побудови сак
- 1.2.1. Класифікація сак
- 1.2.2. Основні принципи побудови систем автоматичного керування
- 1.2.3. Основні види автоматичного керування
- 1.3. Елементи сак
- 1.3.1. Датчики
- 1.3.1.1. Загальні відомості про датчики
- 1.3.1.2 Способи отримання вимірювальних сигналів і типів датчиків для різних величин
- 1.3.1.3 Класифікація датчиків
- 1.3.1.3.1 Електричні датчики
- 1.3.1.3.2 Датчики-модулятори
- 1.3.1.4 Фоторезистори
- 1.3.1.5 Датчики струму
- 1.3.1.6 Датчики напруги
- 1.3.2 Пристрої, що задають
- 1.3.3 Порівнювальні елементи
- 1.3.4 Елементи, що підсилюють
- 2 Параметри й режими сак
- 2.1 Властивості сак
- 2.1.1 Принципи керування
- 2.1.2 Види зворотного зв’язку
- 2.1.3 Способи корекції сак
- 2.1.3.1 Застосування принципу зворотного зв'язку
- 2.1.3.2 Застосування принципу компенсації
- 2.2 Моделювання процесів в сак
- 2.2.1. Математичний опис елементів у змінних вхід – вихід
- 2.1.1.1 Стандартна форма запису диференціальних рівнянь сак
- 2.1.1.2 Операційний метод опису лінійних сак
- 2.1.1.2.1 Основні властивості перетворення Лапласа
- 2.1.1.2.2 Властивості й особливості передаточної функції
- 2.1.1.3 Лінеаризація рівнянь сак
- 2.2 Математичний опис сак у змінних стану
- 2.2.1 Стандартна форма запису рівнянь стану
- 2.3 Структурні схеми сак
- 2.3.1 Позначення у структурних схемах
- 2.3.2 Передаточні функції типових з'єднань ланок
- 2.3.3 Додаткові правила перетворення структурних схем
- 2.3.4 Визначення передатних функцій замкнутої сак за її структурною схемою
- Розділ 3 характеристики сак
- 3.1 Часові характеристики
- 3.2 Частотні характеристики
- 3.2.1 Логарифмічні частотні характеристики
- 3.3 Співвідношення взаємозв'язку характеристик сак між собою і передаточною функцією
- 3.4 Типові ланки сак і їхні характеристики
- 3.4.1 Пропорційна ланка
- 3.4.2 Інтегруюча ланка
- 3.4.3 Диференціюча ланка
- 3.4.4 Аперіодична ланка першого порядку
- 3.4.5 Форсуюча ланка
- 3.4.6 Коливальна ланка
- 3.4.7 Ланка запізнення
- 3.6 Якість і точність сак
- 4. Параметри та характеристики систем автоматичного керування освітленням
- 4.1 Системи автоматичного керування освітленням
- 4.1.1 Структура та функції локальних систем автоматичного керування освітленням
- 4.1.2 Структура та функції інтегрованих систем автоматичного керування освітленням
- 4.1.3 Структура та функції систем автоматичного керування зовнішнім освітленням
- Джерела
- «Теорія автоматичного керування»
- 6.050701 «Електротехніка та електротехнології»)