3.1 Часові характеристики

Диференціальні рівняння незалежно від форми подання є самою загальною формою опису САК і не дають наочного зображення її властивостей. Більш наочно характеризують ці властивості функції y(t) , що є рішеннями диференціальних рівнянь.

Відомо, що те саме диференціальне рівняння має безліч рішень, конкретний вигляд яких залежить від початкових умов і від характеру функції x(t). Тому в ТАК властивості систем і їхніх елементів характеризують рішеннями, що відповідають нульовим початковим умовам і одному з типових впливів на вході, що називаються часовими характеристиками.

Найбільш широке використання при описі динамічних властивостей одержала перехідна функція h(t) . Перехідною функцією називають функцію, що описує зміну вихідної величини, що виникає після подачі на вхід одиничного східчастого впливу l(t) при нульових початкових умовах. Графік перехідної функції називається перехідною характеристикою.

Другою часовою характеристикою є імпульсна перехідна функція w(t) . Під цією функцією мають на увазі функцію, що описує зміну вихідної величини, яка виникає після подачі на вхід дельта-функції при нульових початкових умовах. Графік w(t) називають імпульсною перехідною характеристикою.

З попереднього викладу виходить, що лінійні САК описуються диференціальними рівняннями вигляду

де x(t) і y(t) – відповідно вхідна і вихідна величини; a_i , b_j – коефіцієнти; n – порядок рівняння.

З курсу вищої математики відомо, що інтегрування рівняння (3.1) зводиться до знаходження суми загального рішення однорідного рівняння без правої частини y_с(t) і якого-небудь часткового рішення неоднорідного рівняння y_в (t) , тобто

Зміна вихідної величини, обумовлена складовою y_с(t) , називається вільним рухом, тому що залежить тільки від вигляду лівої частини рівняння (3.1), тобто від внутрішніх властивостей самого об'єкту. Складова y_в (t) , навпаки, залежить від характеру вхідного впливу, тому відповідна зміна називається змушеним рухом.

Складову y_с(t) шукаємо у вигляді

де p – деяке раціональне число.

Підставивши (3.3) у рівняння (3.1) при нульовій правій частині, одержимо:

або

Останнє рівняння називається характеристичним. Таким чином, вираз (3.3) є рішенням вихідного рівняння за умови, що p є коренем рівняння (3.4). Оскільки це рівняння має n коренів, маємо і n лінійно незалежних рішень y_i (t) . Скористаємося відомою теоремою математики, що зтверджує, що коли n лінійно незалежних функцій y_i (t) є рішеннями однорідного рівняння, то загальне рішення цього рівняння визначається виразом

де C_i – довільні постійні інтегрування.

Відмітимо, що вираз (3.5) справедливий тільки у випадку, якщо всі корені p_i є простими. Якщо ж який-небудь корінь p_j має кратність r , то в (3.5) замість r доданків вигляду (3.3) треба включити складову вигляду

Часткове рішення y_в(t) звичайне шукається в тому ж вигляді, в якому задана права частина, тобто залежно від вигляду функції x(t) .

Розглянемо приклад. Приклад 3.1. САК описується диференціальним рівнянням першого по-рядку

Визначити часові характеристики h(t) і w(t) . Вирішення. Спочатку знайдемо h(t) . Маємо характеристичне рівняння:

Його єдиний корінь p = -1T. Отже

Змушену складову h_в(t) шукатимемо у вигляді h_в(t) = C₂ . Підставивши це рішення у вихідне рівняння, одержимо C₂ = – k . Тоді використаємо початкову умову h(0) = 0. Для цього запишемо рівняння:

Звідки С₁ = -k

Остаточно одержимо:

Графік отриманого рішення представлений на рис. 3.1

Рис.3.1 – Характеристика h(t)

Для визначення w(t) вихідне рівняння перетворимо до вигляду

і проінтегруємо отриманий вираз

або

Введемо позначення

Останнє рівняння ідентичне вихідному за умови, що x(t) = 1(t) . Отже

Остаточно одержуємо:

Таким чином

w(t) = h(t)

Графік отриманого рішення поданий на рис. 3.2.

Рис. 3.2 – Характеристика w(t)

На рис. 3.3,а для умов прикладу 3.1 зображена реакція системи при подачі на вхід лінійного сигналу x(t) = 2t , а на рис. 3.3,б - гармонійного сигналу

Рис. 3.3 – Реакція системи при подачі на вхід інших типових сигналів

Застосування перетворення Лапласа значно спрощує визначення тимчасових характеристик.

Хід вирішення при цьому наступний:

1. Перетворимо вихідне рівняння (3.1) за Лапласом при нульових початкових умовах:

2. Вирішимо алгебраїчне рівняння (3.7) відносно Y(s) при заданому X (s) :

3. Визначимо оригінал вирішення y(t) .

У загальному випадку для знаходження y(t) використовують зворотне перетворення Лапласа (L^-1 - перетворення), обумовлене формулою Рімана-Мелліна:

де a=Re s >c₀ може бути будь-яким постійним числом >c₀ .

Більш простим методом є використання довідкових таблиць, в яких наводяться зображення F (s) і відповідні їм оригінали y(t).

Більш простим методом є використання довідкових таблиць, в яких наводяться зображення F (s) і відповідні їм оригінали y(t) .

У разі, якщо зображення є дрібно-раціональною функцією, тобто причому l<r , а коефіцієнти c_i , d _j - дійсні числа, застосовується формула розкладання Хевісайда:

де s_j - корінь рівняння D(s) = 0 ; N - число різних корінь; k_j - кратність j -го кореня.

Диференціальні рівняння реальних САК звичайно мають прості корені s _j і отже для них k_j =1. Тоді вираз (3.10) з урахуванням співвідношення

матиме більш простий вигляд :

(3.11)

Якщо поліном D(s) має q₁ кратних і q₂ простих коренів, то (3.11) записується у вигляді

Оскільки визначення часових характеристик САК проводиться при типових впливах, наведемо зображення цих впливів

Приклад 3.2. Визначити часові характеристики h(t) і w(t) для САК з прикладу 3.1 операторним методом. Вирішення.

Визначимо h(t) . Для цього перетворимо за Лапласом вихідне рівняння з урахуванням того, що x(t) =1(t) :

Звідки

Отриманий вираз є дрібно-раціональною функцією, до якої можна

застосувати формулу розкладання Хевісайда. Тоді:

Рівняння D(s) = Ts² + s = 0 має два корені: s₁ = 0 і s₂ = -1T. Скориставшись формулою (3.11), остаточно одержимо:

Аналогічно визначимо w(t) з огляду на те, що x(t) =d(t) . Маємо:

Скориставшись формулою (3.11), остаточно одержимо:

Приклад 3.3. Рівняння САК має вигляд

Визначимо часову характеристику h(t) при T = 0,3 з; x= 0,5 ; k =10 . Вирішення.

Перетворимо вихідне рівняння за Лапласом при нульових початкових умовах:

Звідки

Використаємо формулу розкладання Хевісайда. Маємо: C(s) =10

має три корені: s₁=0

Скориставшись формулою (3.11), остаточно одержимо:

Введемо позначення: 10 = Asinj₀ ; 5,774 = Acosj₀.

Вирішивши отримані рівняння, одержимо:

Тоді

Графік характеристики h(t) наведений на рис. 3.4

Рис. 3.4 – Характеристика h(t)