2.2.1 Стандартна форма запису рівнянь стану

Нехай відомо нормоване (a₀ = 1) диференціальне рівняння вхід - вихід, що встановлює зв'язок між виходом y(t) і входом u(t) дновимірної системи n-го порядку:

Визначимо рівняння стану, що відповідають диференціальному рівнянню (2.43). Оскільки знання початкових значень вихідний змінної і її похідних

)

можуть бути прийняті як змінні стану

Розв’язавши рівняння (2.43) щодо старшої похідної, маємо

Тоді з (2.44) і (2.45) одержуємо наступну систему диференціальних рівнянь першого порядку щодо змінних стану x₁(t), x₂(t),K, x_n(t) і алгебраїчне рівняння, що зв'язує вихід системи y(t) з відповідною змінною стану

Систему рівнянь (2.46) зручно записати у векторно-матричній формі в такий спосіб:

де згідно з (2.47) матриця стану A розмірності n´ n , матриця входу B розмірності n ´1 , матриця виходу C розмірності 1´ n і вектор стану x(t) розмірності n´1 дорівнюють:

Рівняння (2.46) називаються рівняннями стану в стандартній формі.

Приклад 2.5. Рівняння САК по каналу вхід-вихід має вигляд

Перетворити це рівняння в рівняння стану і вирішити їх.

Вирішення.

Перетворимо (2.50) до нормованого вигляду

Позначимо: x₁(t) = y(t); x₂(t) = y(t); x₃(t) = y(t) і перетворимо вихідне рівняння до системи вигляд у (2.46)

Тоді рівняння стану САУ набуде вигляду:

де

Рис. 2.14 – Блок-схема вирішення диференціального рівняння третього порядку за допомогою програми Simulink

Тут: три блоки Integrator здійснюють інтегрування відповідних вхід-них змінних із заданням від внутрішнього джерела internal їхніх початкових значень; чотири блоки Gain служать для задання зазначених на рис. коефіцієнтів рівняння; ручний перемикач Manual Switch здійснює вибір типу вхідного сигналу.

Відповідні графіки змінних стану при u(t) = 1(t) подані на рис. 2.15.

в)

Рис. 2.15 – Графіки змінних стану: