2.1.1.2.2 Властивості й особливості передаточної функції

Передаточна функція встановлює зв'язок між вхідною і вихідною величинами як у динамічному, так і у статичному режимах.

Передаточна функція є функцією комплексної змінної s = a + j b, котра може при деяких значеннях s обертатися в нуль або в нескінченність. Значення змінної s, при якому W(s) = 0 , називається нулем, а значення, при якому W(s) = ∞, - полюсом передаточної функції. З (2.7) видно, що нулями є корені полінома B(s), а полюсами - корені полінома A(s).

Корені поліномів B(s) і A(s) можуть бути комплексними сполученими й речовинними. Якщо ці корені відомі, то відповідно до теореми Безу вираз (2.7) можна подати у вигляді

Якщо поліном A(s) має один або кілька нульових коренів, то передаточну функцію можна представити у формі з явним виділенням цих коренів, а саме у вигляді

r - кількість нульових коренів полінома A(s) .

Справді, передаточна функція (2.7) має полюси, коли один або кілька молодших коефіцієнтів полінома A(s) дорівнюють нулю:

Або після перетворень:

Елементи САК, в яких r > 0 , називаються астатичними, тобто не мають статичного режиму, який характеризується однозначною залежністю між вхідною і вихідною величинами. Величину r при цьому прийнято називати порядком астатизму. Якщо ж r =0 , то елемент називається статичним.

Для перевірки цього твердження скористаємося теоремою про кінцеве значення оригіналу операційного вирахування і формулою (2.8) за умови

Маємо:

Таким чином, тільки при r = 0 між величинами x₀ і y(t) існує певна однозначна залежність у вигляді

Приклад 2.2. Нехай система описується рівнянням вигляду

Потрібно знайти передаточну функцію W(s) системи при k= 1,

Вирішення.

Перетворимо рівняння системи за Лапласом при нульових початкових

умовах. Одержимо (a₀s² + a₁s + a₂ )Y(s) = kX (s) . Звідси передаточна функція

буде