2.2.1. Математичний опис елементів у змінних вхід – вихід

Математичний опис системи роблять на основі опису всіх вхідних до неї елементів. Першим кроком у складанні моделі окремого елемента САК є ви-явлення фізичних законів, що визначають його поводження. Математичний вираз цих законів і є шуканою моделлю. Потім шляхом виключення проміж-них змінних одержують модель САК в цілому.

Для САК, що має один вхід x(t) і один вихід y(t) , математичну модель можна представити у вигляді

(2.1)

Рівняння (2.1) називають рівнянням динаміки, тому що воно враховує вхідні змінні у вигляді функцій часу. Рівняння динаміки описує фізичні процеси в системі як у сталих, так і в перехідних режимах при будь-яких зовнішніх впливах. Скориставшись (2.1), можна виконувати аналіз властивостей системи, зокрема, можна визначати ступінь стійкості, точність, кількісні показники перехідних процесів.

Рівняння динаміки, якщо в ньому всі похідні взяти рівними нулю, перетворюється в рівняння статики:

(2.2)

Рівняння статики описує фізичні процеси в системі в сталому режимі при постійних зовнішніх впливах. Звичайно це рівняння є алгебраїчним. З рівняння статики замкнутої системи може бути визначена, зокрема, статична помилка системи. Сказане справедливо для випадку, коли рівняння (2.1) містить крім похідних вихідної величини і саму вихідну величину y(t) . Якщо ж y(t) відсутня, то для одержання з рівняння динаміки рівняння статики потрібно прийняти всі похідні рівними нулю, крім похідної y(t) найнижчого порядку. У цьому випадку рівняння статики встановлює зв'язок між цією похідною і вхідним впливом.

Для лінійної стаціонарної САК рівняння (2.1) є лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням вигляду

(2.3)

де u(t) і y(t) – відповідно, вхідна і вихідна величини, що змінюються в часі; a_i, b_j – постійні коефіцієнти, обумовлені параметрами системи; n – порядок рівняння.

Для визначення рішення рівняння (2.3) необхідно задати n початкових умов (значень вихідної величини і її похідних при t₀ =0 ):

(2.4)

і вигляд вхідної величини X(t) .

Однією з основних особливостей лінійних систем є те, що до них засто-совується принцип суперпозиції, відповідно до якого реакція системи на су-купність збурювань визначається сумою реакцій на кожне збурювання окре-мо. Ця особливість має велике практичне значення, тому що в цьому разі значно спрощуються багато розрахунків.