3.4.6 Коливальна ланка

1. Рівняння ланки:

де k - передаточний коефіцієнт, що являє собою відношення вихідної величини до вхідного у статичному режимі розмірностю [k] = [y] / [x]; T - постійна часу, що характеризує інерційність ланки; ξ - коефіцієнт демпфірування (загасання), що характеризує коливальність ланки.

В операторній формі при нульових початкових умовах це рівняння має вигляд

Динамічні властивості розглянутої ланки визначаються значенням коефіцієнта ξ. Власне коливальною ланкою воно називається тільки при 0 < ξ < 1. При ξ = 0 ланка називається консервативною, а при ξ ³ 1 - аперіодичною другого порядку.

Розглянемо випадок, коли 0 < ξ < 1.

2. Передаточна функція:

3.Частотні характеристики:

Частотна передаточна функція:

На рис. 4.9 подані відповідні графіки

Рис. 3.15 – Частотні характеристики

Вигляд кривої, що точно відповідає функції L ( w), істотною мірою залежить від значення коефіцієнта ξ.

Взявши похідну L(w) і дорівнявши її нулю, можна одержати зна­чення частоти w _max = 1-2x²T , на якій спостерігається резонансний пік ЛАЧХ, величина якого становить L ( w) = 20 lg k - 20 lg 2x 1- x ² . При цьому, якщо ξ>V2/2~0,707 (w_max > 0), ЛАЧХ має вигляд монотонно убутної функції. Якщо ж ξ ->0, то w_max ~^1 T і L(w_max)^оо.

У практичних розрахунках звичайно використовують наближену характеристику, що являє собою ламану, яка складається з двох асимптот.

При низьких частотах зневажають величинами

і

тобто

Останнє рівняння являє собою рівняння прямої, що проходить через точку з координатами [w ₁ = 1 T ; L_вч(w ₁) = 20lg k ].

При високих частотах зневажають величинами 1 і (2ξTw)²:

Визначимо нахил другої асимптоти:

Значення частоти wсп , при якій перетинаються обидві асимптоти, знайдемо з умови Lнч(w сп) = Lвч(w сп), тобто

Звідси w_сп = 1 T.

На основі викладеного алгоритм побудови асимптотичної ЛАЧХ можна подати в такий спосіб:

• на рівні L(w) = 20 lg k провести пряму до частоти w_сп ;

• з точки з координатами [w_сп; 20 lg k] провести іншу пряму з нахилом - 40 дб/дек .

ЛФЧХ будуємо за точками:

Таким чином, з аналізу ЛАЧХ і ЛФЧХ видно, що зі збільшенням частоти вхідних коливань амплітуда вихідних коливань до частоти w_сп не змінюється, а при w > w_сп - зменшується, тобто ланка є фільтром високих частот.

Зміщення фаз негативне і з ростом частоти прагне до значення

4.Часові арактеристики.

Перехідна характеристика.

Виходячи з рівняння ланки, його характеристичне рівняння має вигляд:

Його корені

є комплексно-сполученими.

Позначимо p _1,2=-α±j β і знайдемо вільну складову h_c(t) :

Представимо h_c(t) в тригонометричній формі. Для цього скористаємося формулами Ейлера:

Тоді

Оскільки h_с(t) є рішенням рівняння при будь-яких значеннях C₁ і C₂ , то

Оскільки

лінійно незалежні, то можемо записати:

Введемо позначення

Тоді

і, отже

Змушену складову рішення шукатимемо у виглядіh_в (t) = С₅. Підставивши це рішення у вихідне рівняння при x(t) = 1(t), одержимо С₅ = k. Далі можемо записати:

Імпульсна перехідна характеристика:

Далі, скориставшись нульовими початковими умовами, знайдемо значення постійних інтегрування A і j₀:

Остаточно одержимо:

Вигляд цих характеристик представлений на рис. 3.16.

Рис. 3.16 – Часові характеристики: а) h(t); б) w(t)

Характеристика h(t) являє собою синусоїду, амплітуда якої убуває по експонентним складовим:

де Tк - період коливань; n - номер точки, загальної і для відповідної експоненти і для перехідної характеристики.

Визначимо період коливань T_к.

Для цього складемо систему рівнянь:

Звідки

й отже

Таким чином з ростом x збільшується і період T_к . Знайдемо залежність максимального значення перехідної характеристики від x:

З останнього співвідношення видно, що з ростом ξ значення h_m зменшується (тому що 1 - ξ ² зменшується швидше, ніж росте ξ π).

Швидкість загасання коливальних процесів прийнято оцінювати ступенем загасання тобто відношенням різниці двох сусідних амплітуд до першої з них.

Очевидно, що чим ближче Y до одиниці, тим швидше загасають коливання і, навпаки, чим ближче Y до нуля, тим загасання повільніше. Покажемо, що Y залежить від співвідношення дійсної і мнимої частин коренів характеристичного рівняння.

Для цього, скориставшись рівнянням верхньої експонентної складової, запишемо:

Тоді

Відношення m = ba називають ступенем коливальності.

Таким чином Y = 1-e-^2pm .

З останнього виразу видно, що чим менша дійсна частина α, тим загасання повільніше (α = 0 = > µ = ba Y = 0), і навпаки, чим менша мнима частина b, тим загасання швидше (b = 0 = > m = 0 = > Y = 1).

Ступінь коливальності пов'язана з коефіцієнтом демпфірування x співвідношенням

Взаємозв'язок коефіцієнтів m, Y і x представимо у вигляді наступної таблиці:

Аналіз наведених даних показує, що зміст коефіцієнта m є протилеж­ним змісту коефіцієнтів Y і x.

Як відзначалося вище, при x = 0 ланка другого порядку називається консервативною.

У цьому випадку

Отже часові характеристики консервативної ланки мають вигляд незатухаючих коливань частотою b.

При x ³ 1 коливальна ланка вироджується в аперіодичну ланку другого порядку. При цьому

Таким чином у цьому випадку маємо дві послідовно з'єднаних аперіодичних ланки першого порядку. Можна показати, що корені характеристичного рівняння