8.4. Управляемость и наблюдаемость сау

Описание систем в пространстве состояний с успехом используется для синтеза (оптимальной коррекции) систем управления. Для этого оптимальное управление U(t) формируют как функцию доступных измерению координат состояния системы, т.е. реализуют оптимальный регулятор состояния. Возможность создания замкнутой по вектору состояния оптимальной системы управления предполагает, что она удовлетворяет условиям управляемости и наблюдаемости.

Линейная стационарная система управления (8.3) является управляемой, если существует такое управление U(t) размерности , которое может перевести систему из произвольного начального состоянияX(0) в заданное конечное состояние X(t). Это условие записывается в виде

, (8.19)

где H – гиперматрица управляемости порядка .

Условие (8.19) означает, что система (8.3) будет полностью управляемой, если ранг гиперматрицы H равен n, т. е. матрица управляемости содержит n независимых векторов-столбцов, а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если управление является скалярной функцией времени, т. е. U(t)=u(t), то гиперматрица H будет представлять собой квадратную матрицу порядка .

Управляемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от управляющего воздействия к каждой из переменных состояния.

Рассмотрим систему третьего порядка, описываемую передаточной функцией

. (8.20)

Ей соответствует сигнальный граф в переменных состояния, приведенный на рис. 8.6.

Рис. 8.6. Сигнальный граф системы третьего порядка

Видно, что существуют пути от управляющего воздействия u ко всем переменным состояния системы, следовательно, она является управляемой.

Для объекта (8.20) можно записать матричное дифференциальное уравнение

,

где X – вектор состояния системы, ,n = 3.

Тогда матрица управляемости

,

а, следовательно, убеждаемся, что система является управляемой.

Понятие наблюдаемости системы связано с возможностью оценки ее переменных состояния.

Линейная стационарная система управления, описываемая уравнениями (8.3), (8.5) является наблюдаемой, если существует конечное время T такое, что в результате наблюдения выходной переменной Y(t), , может быть определено начальное состояниеX(0) при заданном управлении U(t).

Это условие записывается в виде

, (8.21)

где G – гиперматрица наблюдаемости порядка ,q – размерность вектора Y(t).

Условие (8.21) означает, что система будет полностью наблюдаемой, если ранг гиперматрицы G равен n, т. е. матрица наблюдаемости содержит n независимых векторов-столбцов а, следовательно, ее определитель не равен нулю.

Если объект управления одномерный, т. е. выходная переменная одна, то матрица K является вектором-строкой размерности , а матрица наблюдаемостиG будет представлять собой квадратную матрицу порядка . Условие наблюдаемости для одномерных САУ можно записать в виде

. (8.22)

Система будет наблюдаемой, если каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование вектора выходных переменных Y(t).

Наблюдаемость системы можно определить и по структуре сигнального графа системы – он должен иметь пути от каждой переменной состояния к выходной переменной.

Для объекта (8.20) выходной переменной является координата y(t), равная переменной x₁(t) , а, следовательно, матрица K имеет вид:

.

Условие наблюдаемости САУ (9.19) можно записать в виде:

.

Система является наблюдаемой, поскольку ранг матрицы G полный и каждая переменная состояния вносит свой вклад в формирование выходной переменной y(t). Из рассмотрения графа системы (см. рис. 9.6) также следует, что от каждой координаты состояния имеются пути к выходной переменной, а, значит, система полностью наблюдаема.

Для автоматизации исследования систем управления на предмет управляемости и наблюдаемости в системе программирования MATLAB имеются функции соответственно ctrb и obsv [6, 16].