4.1. Методы описания и исследования динамических управляемых объектов в частотной и временной области

Автоматические системы управления - динамические системы, содержащие как минимум один вход и один выход и обеспечивающие преобразование входных (задающих и возмущающих) воздействий в выходные (управляемые) переменные. В этом преобразовании могут участвовать достаточно большое число динамических элементов, называемых звеньями САУ. Характерной особенностью звеньев САУ является однонаправленность, т. е. отсутствие или ничтожное влияние выходных сигналов на входные. Данное обстоятельство позволяет осуществить декомпозицию ОУ и САУ в целом на ряд достаточно простых динамических звеньев, описываемых хорошо известными в математике методами. При этом физическая природа входных и выходных переменных звеньев может быть различной. Например, входными (управляющими) воздействиями электродвигателя постоянного тока являются напряжения на обмотках якоря и возбуждения, а выходными переменными – вращающий момент на валу двигателя и скорость вращения якоря, т. е. осуществляется преобразование электрической энергии в механическую.

Для составления уравнений элементов САУ используются фундаментальные законы природы, описываемые уравнениями Ньютона, Лагранжа, Максвелла, Ома, Кирхгофа и др. Математические модели подавляющего большинства технических ОУ уже разработаны, причем с различной степенью детализации (с различными допущениями) и подробно рассматриваются в соответствующих дисциплинах – механике, электротехнике, электромеханике, термодинамике и т. п. При этомдля описания элементов САУ используют различные формы, в частности:

1. функциональные схемы и схемы замещения той или иной степени детализации, принципиальные и монтажные схемы и др.;

2. обыкновенные дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных;

3. операторные уравнения, передаточные функции и матрицы (функции комплексной переменной sили оператораp Лапласа в непрерывных САУ, функции комплексной переменнойz в дискретных САУ);

4. структурные схемы;

5. сигнальные графы;

6. частотные характеристики и диаграммы на их основе;

7. векторно-матричные уравнения;

8. схемы пространства состояний.

Большинство методов описания САУ базируются на теории линейных систем. Если хотя бы один элемент САУ содержит нелинейный элемент, то такая система является нелинейной и требует применения специальных методов исследования [2, 12, 19, 20, 21].

Синтез и анализ САУ осуществляют в частотной или временной области, что предполагает применение различных форм математического описания элементов САУ.

Частотные методысинтеза и анализа применимы к линейным стационарным САУ (непрерывным и дискретным) практически любой сложности. Сущность частотных методов исследования САУ заключается в оценке устойчивости и качества по установившейся реакции системы на гармоническое воздействие различной частоты (оцениваются изменение амплитуды и фазовый сдвиг выходного сигнала относительно входного). При этом переход от операторной формы представления к частотной осуществляется простейшей заменой оператораpнав операторных уравнениях непрерывных САУ и оператораzнав операторных уравнениях дискретных САУ. Наиболее часто для описания и исследования САУ частотными методами применяют:

- логарифмические амплитудно- и фазо-частотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) разомкнутой САУ, образующие диаграмму Боде (позволяют оценить абсолютную и относительную устойчивость – запасы по модулю и фазе замкнутой САУ, а также полосу пропускания контура, частоту резонанса и другие характеристики);

- амплитудно-фазовую характеристику (АФХ) разомкнутой САУ - диаграмму Никольса (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ и косвенно ряд других показателей);

- диаграмму (годограф) Найквиста разомкнутой САУ (позволяет оценить абсолютную и относительную устойчивость замкнутой САУ).

Временные методысинтеза и анализа САУ применимы к линейным и нелинейным, стационарным и нестационарным, непрерывным и дискретным, одно- и многомерным САУ любой сложности. Сущность временных методов анализа заключается в получении прямых или косвенных показателей качества управления по реакции САУ на типовой тестовый сигнал (в виде единичной ступенчатой функции или дельта-функции).Прямые оценки качестварегулирования обычно определяют по виду переходной характеристики (время регулирования, время нарастания регулирования, перерегулирование, время запаздывания, частота установившихся колебаний, коэффициент затухания колебаний).К косвенным оценкам качестваСАУ относят корневые, частотные оценки качества, а также интегральные, в том числе интегральные квадратичные оценки. Они же лежат в основе формальных оптимизационных процедур синтеза САУ.

При исследовании САУ временными методами применяют решение тем или иным методом систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих элементы САУ и связи между ними, относительно заданных переменных с использованием средств вычислительной техники. Наибольшее применение нашли методы Эйлера 1-го порядка, Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка, а также метод переходных состояний, позволяющий практически с любой требуемой точностью осуществить переход САУ из произвольного начального состояния в следующее состояние, отстоящее на период, заданный в матрице перехода. Последний из методов базируется на векторно-матричном аппарате исследования систем и ориентирован на применение цифровой вычислительной техники (персональных компьютеров) и соответствующих программных систем и математических пакетов расширения.

Заметим, что, хотя между свойствами САУ во временной и частотной областях отсутствует прямая связь, по виду частотных характеристик можно во многом судить о поведении системы во временной области. Целесообразность применения того или иного метода исследования САУ не всегда очевидна и требует обоснования. Применительно к сложным многомерным нестационарным САУ целесообразность применения временных методов исследования и современных вычислительных средств не вызывает сомнений.