4.4. Уравнение Лагранжа 2-го рода и дифференциальные уравнения

Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности, на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др. Для определения их математических моделей, в общем случае, применяют весьма сложные уравнения Лагранжа-Максвелла.

Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей механических систем в форме дифференциальных уравнений использовать более простые уравнения Лагранжа 2-го рода [19]:

, (4.14) гдеq,,–векторы обобщенных координат, скоростей и обобщенных сил;

– кинетическая энергия механической системы.

Решение уравнения (4.14), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений, разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.

. (4.15)

Для составления уравнений Лагранжасоставляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.

Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:

1. определяют число nстепеней свободы материальной системы;

2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q₁,q₂ ,…,q_n ; - вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числуnстепеней свободы механической системы;

примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;

3) определяют обобщенные силы системы Q₁,Q₂,…, Q_n;- вектор обобщенных сил;

примечание 1: для определения обобщенной силы Q_i , соответствующейi-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда

; (4.16)

примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Q_iможно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.

, (4.17)

где потенциальная энергия системы E_попределяется как функция обобщенных координат, т. е.E_п=; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, дляi-го звена массойm_iравна, где- высота подъема центра массi-го звена,g– ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), дляi-го звена равна, гдес_i– жесткость упругого звена,- угол закручивания (приращение обобщенной координаты);

4) вычисляют кинетическую энергию E_ксистемы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е.; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всехnматериальных точек системы

. (4.18)

Использование формулы (4.18) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определение абсолютных скоростей достаточно большого множества материальных точек системы с массамиm_i.

Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:

- при поступательном движении: , гдеm– масса твердого тела,v– скорость любой его точки;

- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: , гдеJ_Z – момент инерции твердого тела относительно осиZвращения, – угловая скорость вращения;

- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: , гдеJ – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, – модуль мгновенной угловой скорости.

Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле

, (4.19)

где - осевые моменты инерции твердого тела;

- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.

5) определяют частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям, т. е. , а затем вычисляют их производные по времени:

;

6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам, т. е. ;

7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.14) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.15).

В качестве примера составления уравнения Лагранжа рассмотрим кинематическую схему маятника, приведенную на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Кинематическая схема маятника

1) Число степеней свободы материальной системы n= 1.

2) В качестве обобщенной координаты механической системы примем угол отклонения нити маятника от вертикальной оси.

3) Для определения обобщенной силы Q₁ (n=1) надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении. Единственной активной силой является сила тяжести маятникаP=mg. Так как нить рассматривается нерастяжимой, то она является идеальной связью. Работа силы тяжести на возможном перемещении:

.

Заметим, что работа является отрицательной, т. к. знаки вращающего момента, вызванного силой Pи приращения, разные.

Отсюда с учетом (4.16)

.

Полученная обобщенная сила имеет размерность момента (нм).

Обобщенная сила Q₁может быть определена иначе - на основе расчета потенциальной энергии системы:

.

4) Кинетическая энергия системы (твердого тела с массой m) при вращательном движении вокруг неподвижной оси:

,

где J_Z – момент инерции твердого тела относительно осиZвращения, направленной перпендикулярно плоскости рисунка; для невесомой нити и точечной массыmимеем;

– угловая скорость вращения.

5) Частная производная кинетической энергии по обобщенной скорости , а ее производная по времени

.

6) Кинетическая энергия E_кне зависит от обобщенной координаты, а, следовательно, частная производная кинетической энергии по обобщенной координате.

7) После подстановки полученных выражений в уравнение Лагранжа (4.14) получим

(4.20)

или с учетом допущений, принятых для нити и массы маятника

. (4.21)

Полученные дифференциальные уравнения (4.20), (4.21) являются динамическим уравнением движения маятника.