6.2.1. Критерий Гурвица Формулировка критерия: автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением n-го порядка

, (6.9)

устойчива, если при a₀>0 положительны все диагональные определители (определители Гурвица) ∆₁, ∆₂, …, ∆_n, т. е.

, (6.10) где ∆₁=a₁, ∆₂ = a₁a₂ - a₀a₃, ∆₃ = a₃(a₁a₂ - a₀a₃),… .

Если хотя бы один из определителей Гурвица отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆_п= 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости.

Рассмотрим применение критерия Гурвица для оценки устойчивости линейных систем 1…4 порядка. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия.

1. Для уравнения первого порядка (n=1) условие устойчивости:а₀>0 и ∆₁=а₁>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля.

2. Для уравнения второго порядка (n=2) условие устойчивости:

.

Таким образом, для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

3. Для уравнения третьего порядка (n=3) условие устойчивости:

При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительны и произведение средних коэффициентов уравнения (а₁,а₂) было больше произведения крайних (а₀,а₃).

4. Для уравнения четвертого порядка (n=4)

кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

.

Таким образом, для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Гурвица ∆_п-1были положительными.

Запасом устойчивостиСАУ по алгебраическому критерию Гурвица считается некоторая величина, при которой самый минимальный определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины, т. е. при.

Критерий Гурвица удобно применять для систем не выше 4-го порядка. При n>4 целесообразно применять критерий Рауса.