6.2.2. Критерий Рауса

Для оценки устойчивости системы по этому критерию составляется матрица Рауса, представляющая собой таблицу

. (6.11)

Формулировка критерия:САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца таблицы Рауса (включаяа₀иа₁), рассчитываемые по выражению:

, (6.12)

где i– номер строки,j– номер столбца.

Если хотя бы один коэффициент первого столбца отрицателен, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения.

Рассмотрим пример.

Пусть характеристическое уравнение системы 5-го порядка имеет вид:

(6.13)

В соответствие с (7.12) имеем:

Все коэффициенты первого столбца таблицы (6.11) положительны, что означает - система устойчива.

Проверим полученный результат с помощью системы программирования MATLAB, непосредственно вычислив корни характеристического уравнения. Для этого воспользуемся функцией “pole”. Ниже приведен скрипт и результат вычисления корней, а также их расположение на комплексной плоскости (рис. 7.1).

num1=[1]; den1=[1024 1024 512 128 16 0]; sys1=tf(num1,den1);

sys=feedback(sys1,[1]) % Формирование передаточной функции

% замкнутой системы

Transferfunction:

1

---------------------------------------------------------------

1024 s^5 + 1024 s^4 + 512 s^3 + 128 s^2 + 16 s + 1

pole(sys) % Вычисление корней

ans=

-0.2804 + 0.3267i

-0.2804 - 0.3267i

-0.2500

-0.0946 + 0.1101i

-0.0946 - 0.1101i

pzmap(sys) % Размещение корней на комплексной плоскости.

Рис. 6.1. Расположение корней характеристического полинома

(6.13) на комплексной плоскости

Как видим, корни имеют отрицательные действительные части, а, значит, система устойчива.

Рассмотрим еще один пример. Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид

(6.14)

В соответствие с (7.12) имеем:

Система неустойчива, причем имеет место две перемены знака среди коэффициентов 1-го столбца таблицы Рауса, а, следовательно, два корня с правыми корнями. Ниже приведены скрипт MATLABи картина расположения корней на комплексной плоскости (рис. 6.2).

num=[1];

den=[1 1 2 8];

sys=tf(num,den) % Формирование передаточной функции

Transfer function:

1

-------------------

s^3 + s^2 + 2 s + 8

pole(sys)% Полюса передаточной функции

ans =

-2.0954

0.5477 + 1.9988i

0.5477 - 1.9988i

pzmap(sys) % Размещение корней на комплексной плоскости.

Рис. 6.2. Расположение корней характеристического полинома

(6.14) на комплексной плоскости