8.3. Понятие матрицы перехода (переходных состояний)

Конечной целью исследования любой технической системы управления является определение соответствия ее заданным критериям качества управления. Эта задача в концепции современной теории управления решается путем решения векторно-матричного уравнения состояния относительно желаемой, как правило, выходной переменной САУ.

Если известно в момент времени t= 0 начальное состояниеX(0) объекта управления и вектор управляющих воздействийU(0), то уравнение движения системы во времениt(здесь и далее полагается, что возмущенияF(t), действующие на систему, равны нулю) определяется выражением [6, 11, 19]:

. (8.12)

Первое слагаемое в векторно-матричном выражении (8.12) отражает свободное движение многомерной линейной САУ. Второе слагаемое в (8.12) отражает вынужденное движение многомерной линейной САУ.

Матрицу , определяющую динамические процессы в системе, называютпереходной матрицей состоянияили просто матрицей перехода. Существует ряд методов нахождения этой матрицы, базирующихся на описании САУ как во временной области (в форме дифференциальных или векторно-матричных уравнений), так и в области комплексного переменногоp(в операторной форме или в форме структурных схем). Наиболее часто для определения матрицы перехода во временной области используют матричную экспоненциальную функцию в виде разложения ее в ряд с ограниченным числомk() членов ряда [6, 11, 19, 24]:

, (8.13)

где E– единичная матрица,

! – знак факториала.

Решение векторно-матричного уравнения (8.3) можно получить и в области комплексного переменного p, применив к (8.3) преобразование Лапласа:

, (8.14)

где – преобразование Лапласа переходной матрицы состояния,

т. е. .

В частности, для свободного движения системы под действием ненулевого начального состояния X(0) можно записать

. (8.15)

В инженерной практике для нахождения переходной матрицы состояния многомерных САУ применяют системы программирования, упомянутые в главе 5.4. Они базируются на численных методах решения уравнения (8.13) для заданного времениt=Tперехода системы из некоторого начального состояния в последующее, отстоящее на времяT, состояние.

В системе программирования MATLAB6.5 для расчета переходной матрицы состояния используется функцияEXPM(A), гдеA- матрица состояния системы. В системе программированияMathCAD11 необходимо записать оператор

,

где n- порядок системы,

identity(n) – встроенная функция формирования единичной матрицы размерностиnn.

Число членов разложения ряда под знаком суммы принято двадцати. Это очень высокая, может быть, и неоправданная, точность вычисления матрицы перехода, однако это позволяет получить своего рода эталонное решение уравнений динамики системы.

В качестве примера рассмотрим нахождение матрицы перехода для рассматриваемого ранее объекта управления – электродвигателя постоянного тока, регулируемого по цепи якоря с помощью реверсивного преобразователя.

Пусть векторно-матричная модель объекта управления задана уравнениями (8.4), (8.8), (8.9).

Зададимся численными значениями параметров электродвигателя:

R_э=1 Ом;T_э=0, 02 Гн;K_д=0,5 (Вс);J_д = 1.

В соответствие с (8.9) получим

;;. (8.16)

Для расчета переходной матрицы состояния воспользуемся численной процедурой вычисления ряда (8.13), причем зададимся приращением времени перехода из начального состояния в последующее состояние системы T= 0,01 с.

Тогда, используя функцию EXPM(A) системыMATLAB, получим

. (8.17)

Задаваясь некоторым ненулевым начальным состоянием объекта управления в момент времени t= 0, напримерi_я(0) = 0 (А),(рад/с), т. е., получим численные значения компонент вектора состояния в момент времениt= 0,01 с:

.

Умножая полученный вектор состояния на переходную матрицу состоянияможно получить вектор состояния в момент времени 0,02 с и т. д. Результатом операции по применению матрицы перехода системы в новое установившееся состояние является переходный процесс, отражающий свободное движение системы. На рис. 8.3 приведена таблица расчета переходного процесса в системе программированияDelphiна первых 7-ми тактах расчета, а также кривые переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя).

Рис. 8.3. Таблица расчета и графики свободного

движения электродвигателя

Как видим, свободное движение системы из заданного начального состояния представляет собой достаточно интенсивную остановку электродвигателя в режиме рекуперации энергии в сеть за время, близкое к одной секунде. Если в начальный момент времени просто разорвать цепь питания якоря, то свободное движение будет происходить в режиме свободного выбега под действием момента сопротивления на валу электродвигателя за значительно большее время.

Аналогичным образом определяется движение системы под действием ненулевого управляющего воздействия U_я, т. е. вынужденное движение системы. Пусть при нулевом вектореначального состояния системы на якорную обмотку подали напряжениеU_я= 10 В. Для расчета реакции электродвигателя воспользуемся численным методом решения векторно-матричного уравнения (8.3). Такт расчета примем равным приращению времени перехода системы из одного состояния в следующее, задаваемого матрицей перехода, т. е.. На рис. 8.4 приведена таблица расчета реакции системы на первых 7-ми тактах расчета, а также кривые вынужденного переходного процесса (в % от экстремальных значений координат электродвигателя). Установившееся значение скорости электродвигателя в данном случае является экстремальным и равно 5 рад/с, установившееся значение тока якоря равно нулю.

Суммирование реакций САУ в соответствие с (8.11) дает результирующую реакцию системы (рис. 8.5).

Рис. 8.4. Таблица расчета и графики вынужденного

движения электродвигателя

Рис. 8.5. Таблица расчета и графики полного переходного

процесса в электродвигателе

Заметим, что время переходных процессов в режиме малых отклонений координат одинаково и не зависит от величины начальных условий и внешних воздействий, что свойственно всем линейным системам.

Сразу отметим, что эти реакции системы на управляющее воздействие, скорее всего, будут неудовлетворительными, что объясняется произволом выбора приращения управляющего воздействия (управление нами выбрано постоянным и равным 10 В на протяжении всего времени переходного процесса). Определение оптимального изменения во времени управляющего воздействия – задача структурно-параметрического синтеза системы управления.

. (8.18)