10.2.3. Описание дискретных сау в переменных состояния

Цифровые (импульсные) системы управления представляют либо в виде структурных схем с дискретным временем (схем переменных состояния), либо в виде векторно-матричных разностных уравнений [6, 11, 24].

Схемы в переменных состояния дискретных САУ базируются на описании систем в форме ДПФ. При этом, также как и для непрерывных САУ, применяют один из 3-х способов: прямого (непосредственного), параллельного или последовательного программирования. Все способы примерно одинаково трудоемкие, однако существуют самые общие рекомендации по их применению:

1) если ДПФ можно представить в виде суммы простейших ДПФ 1-го порядка, то целесообразно применять параллельное программирование;

2) если ДПФ можно представить в виде произведения простейших ДПФ 1-го порядка, то целесообразно применять последовательное программирование;

3) в остальных случаях целесообразно непосредственное программирование.

Рассмотрим пример. Пусть ДПФ является моделью двигателя постоянного тока (см. гл. 10.2.1), и представлена в виде

(10.19)

Для составления схемы переменных состояния воспользуемся пакетом Simulink системы программированияMATLAB. Схема непосредственного программирования приведена на рис. 10.6. Логика программирования легко воспринимается: выходная переменнаяy(z) формируется как сумма произведений коэффициентов полинома числителя и знаменателя наzв соответствующих степенях. В схеме применено 4 блока задержки (Unit Delay) на периодTквантования. На рис. 10.7 приведена эквивалентная схема переменных состояния, содержащая всего 2 блока задержки.

Рис. 10.6. Схема переменных состояния дискретной системы, полученная

способом непосредственного программирования

Рис. 10.7. Модифицированная схема переменных состояния

дискретной системы

Заметим, что для моделирования идеальных дискретных систем (без непрерывной части) необязательно применение фиксаторов, поскольку значения входного и выходного сигналов берутся точно в дискретные моменты времени (моменты квантования).

Переходный процесс в обеих дискретных моделях электродвигателя одинаков и приведен на рис. 10.8. Как видим, он полностью совпадает с переходным процессом, полученным моделированием дискретного объекта по его передаточной функции (см. рис. 10.5).

Рис. 10.8. Переходный процесс в дискретной модели электродвигателя,

представленной схемой переменных состояния

Схемы переменных состояния способами параллельного и последовательного программирования составляются аналогично [11, 24].

Векторно-матричное уравнение,описывающее электродвигатель как дискретный объект управления, можно составить, используя непосредственно схему переменных состояния (см. рис. 10.7). Введем обозначения переменных:

r– входное воздействие (выход блокаStep);

x₁– выход 1-го импульсного модулятора (выход блокаUnit Delay1);

x₂– выход 2-го импульсного модулятора (выход блокаUnit Delay2);

y– выход системы (выход блокаSum2).

Введем расширенный вектор дискретного состояния системы в моменты времени, непосредственно предшествующие срабатыванию квантователей (замыканию ключей),

.

Обозначим значком “+” состояние переменных системы в моменты времени непосредственно после замыкания ключей. Тогда можно записать

,

,

.

С учетом введенных обозначений поведение дискретной системы в моменты замыкания ключей можно описать в виде:

, (10.20)

где S– матрица состояния дискретной системы (матрица ключей),

.

Для того чтобы связать расширенный вектор состояния с выходной координатой – скоростью двигателя, уравнение (10.19) необходимо дополнить уравнением выхода

,

где .

Векторно-матричную модель дискретной системыможно представить также по аналогии с моделью в пространстве состояний непрерывной системы (8.11), базируясь на применении разностных уравнений, в виде

(10.20)

. (11.19)

Очевидно, что векторно-матричные разностные уравнения (10.20) могут быть разрешены не только относительно будущего (k+1)Tсостояния, но и относительно текущегоkTсостояния дискретной системы.

Рассмотрим пример. Перейдем от модели электродвигателя постоянного тока в форме ДПФ (10.19) к модели в форме разностного уравнения:

Выберем переменные состояния

,

.

Запишем разностные уравнение в форме (10.20):

,

,

Схема набора модели в системе Simulinkприведена на рис. 10.9. Она базируется на использовании блокаDescrete State-Space(дискретная модель в переменных состояния), входящего в библиотеку блоковDescrete. Переходный процесс в приведенной системе аналогичен процессу, изображенному на рис. 10.8.

Рис. 10.9. Схема набора модели дискретной системы

в переменных состояния

Заметим, что множественность выбора координат состояния приводит к множеству схем переменных состояния. В связи с этим целесообразным следует считать выбор таких переменных, которые в наибольшей степени приближены к фактическим координатам дискретной системы.