10.2.4. Описание дискретно-непрерывных сау в пространстве состояний

Дискретно-непрерывные системы включают элементы как дискретных, так и непрерывных систем. Именно такое сочетание элементов наиболее характерно для большинства технологических процессов с дискретным (цифровым управлением) и при математическом описании систем необходимо учитывать возможности дискретной аппроксимации сигналов и звеньев. Действительно, при достаточно больших тактах дискретного управления тот же электродвигатель не может быть представлен дискретным звеном, поскольку его дискретная модель будет противоречить теореме Котельникова-Шеннона.

Математические модели дискретно-непрерывных систем в контексте современной теории управления представляют либо в виде схем пространства состояний, либо в виде векторно-матричных разностных уравнений.

Рассмотрим пример составления схемы пространства состояний дискретно-непрерывной системы управления электродвигателем постоянного тока. Пусть электродвигатель с силовым преобразователем представлен непрерывным звеном 2-го порядка (см. в гл. 8.3)

. (10.21)

Установим на вход объекта дискретный регулятор, реализующий ПИ-закон регулирования, с передаточной функцией

. (10.22)

Коэффициент передачи звена отрицательной обратной связи по скорости примем равным 0,1.

Схема пространства состояния объекта управления приведена на рис. 10.10, а схема моделирования замкнутой дискретно-непрерывной САУ в среде Simulink- на рис. 10.11. Для упрощения модели объект управления на этой схеме представлен передаточной функцией вида (10.21).

Рис. 10.10. Схема пространства состояний объекта управления

Для преобразования дискретного сигнала управления U_у(z) в непрерывный сигналU_у(p) между регулятором и объектом управления включен экстраполятор нулевого порядка (Zero-Order Hold). Примем такт квантованияT = 0,05с.

При математическом описании дискретно-непрерывных систем следует различать два момента:

1. в моменты квантования (замыкания ключей) изменяется состояние только дискретной части системы; непрерывная часть, обладая инерцией, остается неизменной;

2. в промежутках времени между замыканиями ключей происходит изменение только непрерывной части системы; дискретная часть, благодаря фиксаторам, остается неизменной.

Введем обозначения переменных состояния (см. рис. 10.10, 10.11):

r– задающее воздействие;

x₁– скорость двигателя;

Рис. 10.11. Схема моделирования замкнутой дискретно-непрерывной

системы

x₂– ток якоря;

x₃– выходной сигнал звена задержки в работе регулятора на тактT.

Введем расширенный вектор состояния

.

Переменные состояния в дискретные моменты времени замыкания ключей:

,

,

,

.

Модель дискретной части системы в векторно-матричной форме:

, (10.23)

где S– матрица ключей,

.

Переменные состояния между моментами времени замыкания ключей:

,

,

.

Векторно-матричная модель дискретно-непрерывной системы в промежутках времени между замыканиями ключей

, (10.24)

где - расширенная матрица состояния системы,

.

На основе уравнений (10.23), (10.24) состояния дискретно-непрерывной САУ можно получить уравнение ее движения в функции времени (уравнение переходных состояний). Для этого, прежде всего, необходимо в соответствие с формулой (8.13) найти матрицу переходадля непрерывной системы.

Пусть дано начальное состояние системы . Тогда в начальный момент времениt = 0 и на интервале времени отt = 0 доt =T

,

где H(A, T) – матрица переходных состояний дискретно-непрерывной системы,H(A, T) = Ф(A, T) S.

Рассуждая аналогично, можно записать уравнение переходных состояний для произвольного числа тактов квантования:

. (10.25)

На рис. 10.12 приведен переходный процесс в рассматриваемой дискретно-непрерывной системе управления электроприводом. Как видим, скорость электропривода в режиме малых отклонений координат устанавливается с небольшим колебанием примерно за 6 тактов квантования (0,3 с), что является вполне приемлемым для большинства технических приложений, однако может оказаться неприемлемым для систем предельного быстродействия.

Рис. 10.12. Переходный процесс в дискретно-непрерывной

системе управления электроприводом

Ниже будут рассмотрены некоторые методы синтеза оптимальных цифровых САУ.