6.1. Характеристическое уравнение линейной сау. Влияние корней характеристического полинома на устойчивость сау

Устойчивость линейных систем не зависит от величины входных воздействий.Если линейная система устойчива, то в такой системе свободный (собственный) процесс, как отмечалось в разделе 5.2, с течением времени стремится к нулю.

Свободный процесс определяется решением однородного дифференциального уравнения, описывающего замкнутую линейную систему, или корнями характеристического уравнения передаточной функции замкнутой САУ.

Дифференциальное уравнение свободного движения одномерной линейной системы имеет вид

. (6.1)

Решение этого уравнения представляет собой сумму затухающих экспонент

, (6.2)

где - постоянные, определяемые начальными условиями,

- корни характеристического уравнения системы

. (6.3)

Рассмотрим подробнее понятие характеристического уравнения, оперируя понятием передаточной функции.

Любую одноконтурную замкнутую линейную САУ можно представить в виде передаточной функции

, (6.4)

где - передаточная функция прямого канала САУ (от входного воздействия до выхода),

; (6.5)

- передаточная функция канала обратной связи (от выхода до входного воздействия),

. (6.6)

Обозначим передаточную функцию разомкнутой САУ как , т. е.

. (6.7)

Тогда с учетом (6.2) – (6.4) характеристическое уравнение замкнутой САУ будет иметь вид

. (6.8)

Очевидно, что полином (6.8) знаменателя передаточной функции замкнутой САУ можно представить в виде (6.1), полученном непосредственно по модели САУ в форме дифференциального уравнения.

Аналитическая формулировка условий устойчивости САУ по корням характеристического полинома дана А. М. Ляпуновым в следующем виде.

Для того чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции (6.4) имели отрицательные действительные части или все корни ее характеристического уравнения (6.8) были левыми. Если хотя бы один полюс находится в правой полуплоскости, система неустойчива. Если имеется пара корней, расположенных на мнимой оси, а остальные корни принадлежат левой полуплоскости, то система находится на границе устойчивости.

Для суждения об устойчивости САУ нет необходимости в вычислении корней ее характеристического уравнения, достаточно лишь определить характер их расположение на комплексной плоскости или соотношения между коэффициентами характеристического уравнения. Правила, позволяющие оценить устойчивость САУ без нахождения корней характеристического уравнения, называют критериями устойчивости. Различают алгебраические и частотные критерии устойчивости линейных САУ.