1. Числовые последовательности

Дискретные сигналы определяются для дискретных зна­чений независимой переменной — времени. Обычно время кван­туется равномерно, т. е. t = пТ, где Т — интервал между от­счетами. Математически дискретные сигналы представляются в ви­де непрерывной последовательности чисел. Для описания после­довательностей может быть использовано одно из следующих обозначений:

{h(п)}, N₁  п  N₂; h(п) или h_п, N₁  п  N₂; (1, а)

{h(пТ)}, N₁  п  N₂; h(пТ), N₁  п  N₁. (1, б)

Обозначения (1.1, а) могут применяться при неравномер­ном расположении отсчетов, тогда как (1.1, б) явно пред­полагают их равномерное размещение.

Последовательность может быть получена различными спо­собами. Проще всего взять набор чисел и расположить их в виде последовательности. Например, числа 0, 1, 2, ..., (N – 1) обра­зуют «пилообразную» последовательность h(п) = п, 0  п  N – 1.

Другой способ состоит в использовании некоторого ре­куррентного соотношения. Например, равенство h(п) = h(п – 1)/2 с начальным условием h(0) – 1 дает последовательность

h(п) = (1/2)ⁿ, 0  п  .

Третий способ – взять равноотстоя­щие отсчеты непрерывного колебания и из их величин образо­вать последовательность, т. е. положить

h(пТ) = h(t)_t=nT, –  п  ,

где Т – интервал дискретизации. Для получения последовательностей методом дискретизации (оцифровки) непре­рывных колебаний используют аналого-цифровые преобразова­тели (A/D).

Первые два метода получения последо­вательностей не связаны с временем, тогда как третий существен­но от него зависит. Отсюда видно, что для описания последова­тельностей пригодны в том или ином смысле все обозначения (1).

Рис.1. Графические изо­бражения последовательностей

Наглядные графические изо­бражения последовательностей могут быть представлены двумя способами – рис. 1. В качестве типичного примера на рис. 1 изображена последова­тельность h(п) = п, 0  п  N – 1. При использовании пер­вого способа (рис. 1, а) п₀–й элемент последовательности изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от оси абсцисс из точки п = п₀. Во многих случаях нет смысла изо­бражать каждую выборку, достаточно провести только огибаю­щую последовательности – рис. 1, б).

Рис..2. Графики стандартных последовательностей

Не­которые стандартные (элементарные) числовые последовательности часто используются при циф­ровом анализе – рис. 2.

Цифровой еди­ничный импульс (или единичный отсчет) u₀(п) – рис.2, а)

u₀(п)_{n = 0} = 1, u₀(п)_{n  0} = 0. (2)

В дискретных системах цифровой еди­ничный импульс u₀(п) играет такую же роль, как аналоговый единичный импульс (дельта-функция Дирака) (t) в аналоговых преобразователях. Важное различие между ними со­стоит в том, что первый представляется физически реализуемым сигна­лом, тогда как второй рассматривается только как обобщенная функция – математическая абстракция.

Единичный импульс, задержанный на п₀ отсчетов, – рис. 2, б)

u₀(п – п₀)_{n = п0} = 1, u₀(п– п₀)_{n  п0} = 0. (3)

Единичный скачок u_–1(n) – рис. 1.2, в)

u_–1(п)_{n  0} = 1, u_–1(п)_{n  0} = 0. (4)

Единичный скачок связан с единичным импульсом соотношением

u_–1(п) =. (5)

Убывающая экспонента – рис. 1.2, г)

g(п) = (6)

Синусоида, смещенная на 3/4 – рис. 1.2, д),

h(n) = cos(2n/n₀), для всех п. (7)

Особенно важная последовательность – комплексная экспонента

е^j2n/N = cos(2n/N) + j sin(2n/N).

Для изображения комплексной последо­вательности необхо­димы раздельные графики вещественной и мнимой частей. Приведенные стандартные последователь­ности играют важную роль в теории ЦОС.