Цифровая обработка сигналов Лекции / Цифровая обработка сигналов Лекции

1. Цифровые фильтры

с импульсными характеристиками конечной длины

Последовательности конечной длины можно обрабатывать преобразователями, для которых не возникают проблемы устойчивости и физической реализуемости.

Достоинства КИХ–фильтров:

Можно создавать КИХ–фильтры с линейной фазовой характеристикой – такие преобразователи особенно важны при обработке речи и передаче данных, когда приходится учитывать дисперсионные искажения, связанные с нелинейностью фазовой характеристики.
КИХ–фильтры реализуются как по рекурсивной, так и по нерекурсивной схемам.
КИХ–фильтры, реализуемые по нерекурсивной схеме, т.е. с помощью прямой свертки, всегда устойчивы.
Шумы округления, возникающие в нерекурсивных КИХ–фильтрах при выполнении арифметических операций с конечной точностью, легко минимизировать.

Недостатки КИХ–фильтров:

Фильтры с крутыми срезами частотных характеристик имеют импульсные характеристики с большим числом отсчетов. Поэтому обычная свертка требует большие объемы вычислений.
Задержка в КИХ–фильтрах не всегда кратна интервалам дискретизации, что может вызвать определенные трудности в некоторых приложениях.

КИХ–фильтры с линейной фазовой характеристикой

Физически реализуемая последовательность {h(n)} конечной длины, заданная на интервале 0n  N– 1, имеетz-преобразование

H(z) = h₀ + h₁/ z + h₂/ z² + h₃/ z³ + … = h(n) z^-ⁿ.

Преобразование Фурье от {h(n)}

H(e^j^) = h(n) e^–^j^ⁿ(8.14)

периодическая функция по частоте с периодом 2, т.е.

H(e^j^) = H(e^j⁽^⁺²^^m⁾) , m = 0, 1, 2, … .

Для действительных последовательностей получим дополнительные ограничения на функцию H(e^j^), представив ее в виде

H(e^j^) = H(e^j^)e^j^⁽^⁾ = H^*(e^j^)e^j^⁽^⁾, (8.15)

где H^*(e^j^) –действительная функция, принимающая положительные и отрицательные значения. МодульH(e^j^)– симметричная функцияH(e^j^)=H(e^–^j^), а фаза ()– антисимметричная функция частоты () = – (–).

Требование линейности фазовой характеристики означает

 () = –(), –    , (8.16)

где  – постоянная фазовая задержка, выраженная через число интервалов дискретизацииn.

При выполнении условий (8.15) и (8.16) преобразование Фурье (8.14) имеет вид

H(e^j^)= h(n) e^–^j^ⁿ=H(e^j^)e^–^j^.(8.17)

Приравнивая действительные и мнимые части этого уравнения, получим условие линейности фазовой характеристики при  0

h(n) sin [( – n)]= 0. (8.18)

Существование решения уравнения (8.18) удовлетворяет условиям:

 = (N – 1) / 2; (8.19)

h(n) = h(N – 1 – n), 0    N – 1. (8.20)

Условие (8.19) означает, что для каждого Nсуществует только одно значение, при котором фазовая характеристика фильтра может быть линейной. Условие (8.20) означает, что при заданной задержке, импульсная характеристика должна обладать определенной симметрией.

Из условия (8.19) следует, что при нечетном значении Nзадержкаравна целому числу интервалов дискретизации.

Согласно условию линейности фазовой характеристики (8.16) требуется, чтобы фильтр имел постоянные и групповую, и фазовую задержку. Групповая задержка равна производной от фазовой характеристики по частоте, а фазовая задержка – отношение фазы к частоте. Если достаточно, чтобы постоянной была только групповая задержка, то можно определить еще один тип фильтра, фазовая характеристика которого аппроксимируется кусочно–линейной функцией

H(e^j^) = = H(e^j^)e^j⁽^^–^⁾.(8.21)

Аналогично тому, как условие (8.17) приводится к виду (8.18), условие (8.21) можно привести к виду:  =(N–1)/ 2; = ;

h(n) = –h(N – 1 – n), 0  n  N – 1. (8.22)

Фильтры, удовлетворяющие условиям (8.22) задерживают сигнал на  =(N–1)/ 2 интервалов дискретизации, но в отличие от предыдущего случая их импульсные характеристики антисимметричны относительно центра.

В зависимости от четности значения и вида симметрии импульсной характеристики возможны четыре различных вида КИХ-фильтров с линейными фазовыми характеристиками.

Частотная характеристика КИХ-фильтра с линейной ФЧХ

H(e^j^) = H^*(e^j^)e^j⁽^^–^⁾,(8.23)

где H^*(e^j^) – действительные функции; коэффициентыиопределяются формулами (8.22).

В зависимости от значений N,иКИХ-фильтры с линейной фазовой характеристикой (ФЧХ) делятся на 4 вида:

Фильтры вида 1 – симметричная импульсная характеристика, нечетное N.

Фильтры вида 2 – симметричная импульсная характеристика, четное N.

Фильтры вида 3 – антисимметричная импульсная характеристика, нечетное N.

Фильтры вида 4 – антисимметричная импульсная характеристика, четное N.

Три класса методов проектирования КИХ–фильтровс линейными фазовыми характеристиками: методы взвешивания с помощью окна; методы частотной выборки; методы проектирования оптимальных (по Чебышеву) фильтров. В каждом конкретном приложении выбор метода расчета определяется многими различными факторами. Каждый из методов имеет сравнительные преимущества и недостатки.

Первый метод проектирования – метод взвешивания

Частотная характеристика цифрового фильтра H(e^j^)– периодическая функция, которую можно представить рядом Фурье

H(e^j^) = h(n) e^–^j^ⁿ, (8.24)

где h(n)= H(e^j^) e^j^ⁿd. (8.25)

Коэффициенты Фурье h(n)совпадают с коэффициентами импульсной характеристики цифрового фильтра. Использование (13.45) связано с проблемами: 1) импульсная характеристика бесконечно длинная – суммирование в (13.45) в бесконечных пределах; 2) фильтр физически нереализуем – импульсная характеристика начинается в –.

Один из возможных методов получения КИХ–фильтра, реализующего заданную функцию H(e^j^), заключается в усечении бесконечного ряда Фурье. Но простое усечение приводит к известному явлению Гиббса – выбросы и пульсации до и после разрыва в частотной характеристике. Улучшение результатов дает метод проектирования КИХ–фильтров, основанный на использовании конечной длиныw(n), называемой окном, для модификации коэффициентов Фурьеh(n)в формуле (8.24) с целью управления сходимостью ряда Фурье.

Операция взвешивания коэффициентов Фурье изменяет частотную характеристику фильтра. Эти изменения определяются формой окна взвешивания. На практике чаще всего используются три вида окон: прямоугольное окно, окно Хемминга и окно Кайзера.

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно соответствует простому усечение ряда Фурье. Весовая функция N–точечного прямоугольного окна имеет вид

w_R(n)=(8.26)

При нечетных значениях Nчастотная характеристика прямоугольного окна W_R(e^j^)=sin( N/2) / sin( /2). Частотная характеристика фильтра, полученного в результате усечения (операции взвешивания прямоугольным окном) импульсной характеристикиh(n)фильтра с частотной характеристикойH(e^j^), рассчитывается как круговая свертка функцийW_R(e^j^)*H(e^j^).

Обобщенное окно Хемминга

Окно Хемминга и окно Ханна – частные случаи обобщенного окна Хемминга:

w_H(n)=

Здесь 0   1; значение= 0,54 соответствует окну Ханна (hanning), значение= 0,54– окну Хемминга.

Обобщенное окно Хемминга можно представить в виде

w_H(n) = w_R(n) [ + (1– )cos(2 n / N)],

где w_R(n)– прямоугольное окно (8.26). Следовательно частотная характеристика обобщенного окна Хемминга может быть представлена в видеW_H(e^j^)= W_R(e^j^)* [ u_o() +

+ ((1– )/2) u_o( – 2 / N) + ((1– )/2) u_o( + 2 / N)] =

= [W_R(e^j^) + ((1– )/2) W_R(e^j⁽^^{– 2}^⁾) + ((1– )/2) W_R(e^j⁽^^{+ 2}^⁾).

Окно Кайзера

Поиск хороших окон сводится к математической задаче нахождения ограниченных (финитных) во времени функций, преобразование Фурье которых наилучшим образом приближаются к функциям, ограниченным по частоте – имеют минимальную энергию за пределами заданного диапазона частот. При решении этой задачи в замкнутой форме для непрерывных функций времени используется класс вытянутых сфероидальных волновых функций. Эти функции имеют сложный вид.

Кайзер (KaiserJ.F.) предложил использовать относительно простую аппроксимацию сфероидальных волновых функций

w_K(n) = I_o((1– [2n / (N – 1)]² )^1/2)/ I_o()

при –(N–1)/2 n (N–1)/2, где – константа, определяющая компромисс между максимальным уровнем боковых лепестков и шириной главного лепестка частотной характеристики окна;I_o – функция Бесселя нулевого порядка.

Для вычисления функции I_o(x)ее можно представить степенным рядомI_o(x) = 1 +_n₌₀ [(x/2)^k/k!]².

Второй метод проектирования – метод частотной выборки

Основная идея метода – искомая частотная характеристика аппроксимируется отсчетами, взятыми в равноотстоящих точках; путем интерполяции получается результирующая частотная характеристика, которая проходит через исходные отсчеты.

КИХ–фильтр может быть однозначно определен как импульсной характеристикой {h(n)}, так и последовательностью{H(k)}.Последовательности{h(n)} {H(k)}связаны между собой парой дискретных преобразований Фурье

H(k)=h(n) e^–^j⁽²^^/^N⁾^nk, ДПФ (8.27)

h(n)= (1/N) H(k) e^j⁽²^^/^N⁾^nk, ОДПФ. (8.28)

Коэффициенты ДПФ импульсной характеристики КИХ–фильтра, равные H(k), можно рассматривать как значенияz– преобразования импульсной характеристики фильтра вNравноотстоящих точках на единичной окружностиH(k)= H(z)_z₌_exp_[(_j₂__/_N₎_k_].

Таким образом, z-преобразование импульсной характеристики КИХ-фильтра можно выразить через коэффициенты ДПФ его импульсной характеристики, если подставить (8.28) в выражение дляz-преобразования

H(z) = h(n) z^–ⁿ=

= [(1/N) H(k) e^j⁽²^^/N⁾^nk] z^–ⁿ.

Меняя порядок суммирования и учитывая, что e^j²^^k= 1, получим

H(z)= [(1 –z^–^N)/ N]^N^–1_n₌₀ H(k) / (1 – z^–1 e^j⁽²^^/^N⁾^k). (8.29)

Из этого соотношения следует, что для аппроксимации непрерывной частотной характеристики надо произвести ее дискретизацию по частоте в равноотстоящих точках на единичной окружности (взять частотную выборку); восстановить непрерывную частотную характеристику можно, интерполируя отсчеты частотной характеристики. Ошибка аппроксимации в промежутках между отсчетами имеет конечную величину.

Для восстановления непрерывной частотной характеристики H(e^j^) по отсчетамH(k)используются интерполирующие функции вида S(, k) = exp[–j(k/N)] sin(N/2)/sin( /2 – k/N) =

=  exp[–j(k/N)] sin [N ( /2 – k/N)]/sin( /2 – k/N).

Частотная характеристика фильтра представляется как линейная комбинация интерполирующих функций S(, k)

H(e^j^)= ({exp[–j (N – 1)/2)]}/N) ^N^–1_n₌₀ H(k) S(, k).

Вклад каждого отсчета частотного отсчета в синтезируемую частотную характеристику пропорционален его значению H(k), умноженному на интерполирующую функциюsin(N /2)/sin( /2), смещаемую по частоте наk/N. Интерполирующие функцииS(, k), связанные с частотными отсчетами из переходной полосы, обеспечивают хорошее подавление пульсаций в примыкающих частотных полосах. Оптимизируя значения незаданных частотных отсчетов, которые лежат в переходных полосах, можно синтезировать фильтры с хорошими частотными характеристиками.

Содержание