Быстрое преобразование фурье

В предыдущих разделах были рассмотрены методы расчета цифровых фильтров, основанные на дискретизации фильтров непрерывного времени. Существуют также прямые методы расчета цифровых фильтров в частотной или временной области, которые образуют вторую группу методов расчета цифровых фильтров. К ним относятся методы расчета по заданному квадрату ампли­тудной характеристики и методы расчета во временной области.

1. Расчет по квадрату амплитудной характеристики

Запишем z-преобразование импульсной характеристики БИХ-фильтра в виде отношения

Н(z) = .

Квадрат амплитудной характеристики фильтра

|H(e^j)|² = Н(z) Н(z^–1) при z = e^j

можно представить как отношение тригонометрических функ­ций от частоты

|H(e^j)|² = . (8.46)

Выражение (8.46) используется в основе многих методов расчета цифровых фильтров по заданному квадрату амплитудной харак­теристики. Кроме того, с помощью этого выражения цифровой фильтр удается связать с аналоговым фильтром, квадрат амплитудной характеристики которого равен отношению полиномов по Ώ². Используя подстановку

можно выражение (8.46) привести к виду, характерному для передаточной функции аналогового фильтра.

Перепишем выражение (8.46)в упрощенной форме

|H(e^j)|² =.

Здесь — рациональный полиномn-го порядка по тригоно­метрическим функциям. Соответствующий выбор функции позволяет получить цифровые фильтры различных типов, обла­дающие заданными амплитудными характеристиками.

Расчет БИХ-фильтров по заданному квадрату амплитудной характеристики можно распространить на некоторые другие тины фильтров, причем они необязательно должны быть филь­трами нижних частот. Применение рассматриваемого метода сопря­жено с двумя трудностями. Во-первых, для построения фильтра с заданными свойствами необходимо подобрать подходящий рацио­нальный полином . Во-вторых, функцию квадрата амплитуд­ной характеристики |H(e^j)|² приходится раскладывать на сомножи­тели, чтобы найти ее полюсы и нули. Как правило, выполнить это разложение весьма непросто, что делает применение рассматривае­мого метода расчета фильтра нежелательным.

2. Расчет БИХ-филътров во временной области

Наряду с методами расчета фильтров, обладающих заданными частотными характеристиками, существуют методы расчета фильт­ров с заданными импульсными характеристиками. Пусть z-преобразоваиие импульсной характеристики h(k) фильтра равно

Н(z) = = .

и требуется, чтобы импульсная характеристика аппрокси­мировала заданную последовательность g(k) в диапазоне 0  k  Р – 1. Можно найти такой набор коэффициентов a_i и b_i, что

 =

будет минимальной. Здесь w (k) — положительная весовая функ­ция.

Декция 9