Всепропускающего фильтра 2-го порядка

Построение БИХ-фильтров с линейными ФЧХ основано на использовании «инверсии времени» z(n) = w(–n).

На практике методы, основанные на инверсии времени, точно реализовать невозможно ввиду того, что приходится инвертировать бесконечные по времени последовательности, не дожидаясь, пока они закончатся. Ограничение обрабатываемых последовательностей во временных рамках приводит к ошибкам.

Три группы методов расчета БИХ – фильтров

Проектирование фильтра начинается с определения коэффициентов b_k и a_m в формуле (8.33)

H(z) = = /( 1 + ),

которые обеспечивают аппроксимацию заданных характеристик фильтра. Такими характеристиками могут быть: импульсная, частотная, характеристика групповой задержки и др.

Одну группу методов проектирования цифровых фильтров составляют методы отображения характеристик аналогового прототипа из s–плоскости в z–плоскость для цифровых фильтров. Вместо того чтобы заново создавать теорию расчета цифровых фильтров, можно использовать простые методы отображения, позволяющие преобразовать фильтры из одной области в другую. Такие методы расчета цифровых фильтров, включающие проектирование соответствующего аналогового фильтра и его дискретизацию, наиболее широко используется при расчете БИХ – фильтров. Методы отображения из s-плоскости в z-плоскость используются при проектировании стандартных фильтров верхних и нижних частот, полосовых и режекторных фильтров; теория расчета таких фильтров в непрерывном времени хорошо разработана.

Вторую группу методов проектирования цифровых БИХ–фильтров составляют методы расчета в z-плоскости. Часто удается найти такое расположение полюсов и нулей фильтра, при котором обеспечивается некоторая аппроксимация заданной характеристики фильтра.

Третий подход к расчету БИХ–фильтров – применение процедур оптимизации при нахождении полюсов и нулей в z-плоскости. Расчет фильтров обычно производится методом последовательных приближений.

Расчет БИХ–фильтров по аналоговым прототипам

Наиболее распространены методы дискретизации характеристик аналогового прототипа; при этом можно воспользоваться методами расчета аналоговых фильтров. Известны такие классы аналоговых преобразователей, как фильтры Баттерворта, Чебышева, эллиптические. Применяются несколько методов преобразования (дискретизации) аналогового фильтра в эквивалентный цифровой.

Аналоговый фильтр описывается передаточной функцией

H(s) =/ = / (2)

с известными коэффициентами a_m и b_k.

Дифференциальное уравнение аналогового фильтра имеет вид

d^my(t) / dt^m = d ^kx(t) / dt ^k,

где x(t) и y(t) – колебания на входе и выходе фильтра соответственно.

Четыре метода дискретизации характеристик аналогового фильтра–прототипа:

1. метод отображения дифференциалов;

2. метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

3. метод согласованного z – преобразования;

4. метод билинейного преобразования.

1. Метод отображения дифференциалов – наиболее простой метод дискретизации аналоговой системы – замена дифференциалов на конечные разности.

При любом отображении непрерывного пространства в дискретное пространство должны выполняться обязательные требования: