10.2.2. Разностные уравнения

Для синтеза и анализа цифровых систем управления во временной области широко используют разностные уравнения.

Разностное уравнение дискретной системы может быть получено из описания системы в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или непосредственно по ее непрерывной передаточной функции

. (10.16)

Дифференциальное уравнение, соответствующее (10.16), имеет вид:

(10.17)

Полагая такт квантования Tничтожно малым, получим

,

,

,

,

… .

Тогда можно записать

,

откуда разностное уравнение дискретной системы

. (10.18)

Заметим, что в разностном уравнении (10.18) фигурируют значения входной и выходной переменных только в текущий (k-й) и прошлые дискретные моменты времени, причем разностное уравнение разрешено относительно выходной переменной вk-й момент времени. Такое представление разностного уравнения является обоснованным, поскольку применительно к системам реального временим в памяти компьютера могут храниться только текущие и прошлые значения переменных.

Если известна дискретная передаточная функция какого-либо звена, то получение разностного уравнения не представляет труда. Для этого достаточно преобразовать ДПФ к виду, разрешенному относительно выходной переменной при оператореzв нулевой степени, что эквивалентноk-му моменту времени. В частности, разностные уравнения, описывающие процессы в интегрирующих звеньях (формулы 10.10…10.13), принимают вид:

1. Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX (kT);

2. Y (kT) = Y ((k-1)T) + TX ((k-1)T);

3. Y (kT) = Y ((k-1)T) + 0,5 T [X (kT) + X((k-1)T)];

4. Y (kT) = Y ((k-1)T) + (T / (1+ ) ) [X (kT) +  X((k-1)T)].