1. Дискретный ряд Фурье

Частотная характеристика дискретной системы – периодическая функция частоты , поэтому равенство (4.2)

H(e^j) = (1)

можно рассматривать как разложение функции H(e^j) в ряд Фурье, при­чем коэффициенты разложения – это отсчеты импульсной характеристики системы. Согласно теории рядов Фурье, коэффициенты h(n) могут быть выражены через H(e^j):

h(n) = H(e^j) e^jnd. (2)

Равенства (4.2), (1) и (2) представляют собой пару преобразований Фурье. Из соотношения (2) видно, что h(n) по существу – суперпозиция синусоид е^jn = cos(n) + j sin(n) с ам­плитудами H(e^jn). Пара преобразований (1) и (2) справед­лива для любой последовательности с конечной суммой (1), поэтому произвольную входную последовательность также можно представить в виде

x(n) = X(e^j) e^jnd. (3)

где X(e^j) =. (4) Согласно формулам (4.1)

y(п) = = e^{j n}= x(п) H(e^j ),

отклик на последовательность e^jn равен H(e^j)e^jn, поэтому откликом на входную последо­вательность (5.3) будет

y(n) = X(e^j) H(e^j) e^jnd. (5)

– для суммирования откликов использовано свойство линейности системы.

Из равенства Y(e^j)= X(e^j) H(e^j)

нетрудно увидеть, что (5.5) – одно из двух соотношений, представляющих собой пару преобразований Фурье для последо­вательности y(n).

Таким образом, показано, что и для дискрет­ных систем свертка во временной области соответствует умноже­нию в частотной области. Итак, частотная характеристика H(e^j) представляет собой отклик системы на ограниченный класс вход­ных последовательностей вида

e^jn, 0  < 2.

Однако соотношение (5.3) показывает, что произвольные после­довательности – это суперпозиция таких экспонент, поэтому функция H(e^j) – важное средство описания отклика системы почти на любые входные последовательности.