Введение в теорию ортогональных преобразований

Две вещественные функции g(x) и h(x), заданные на конечном или бесконечном интервале (a<x<b), называются ортогональными друг другу на этом интервале, если

При этом функции предполагаются конечными либо бесконечными, но обязательно с абсолютно сходящимся интегралом. Интеграл называется абсолютно сходящимся если

.

Система функций называется ортогональной на некотором интервале, если каждые две функции из этой системы ортогональны друг другу на этом интервале.

Пусть задана система функций

g₁(x),g₂(x),…,g_n(x) (2.1)

ортогональная на некотором интервале (a<x<b).

Может возникнуть задача о разложении произвольной функции f(x) на этом интервале в ряд по функциям (2.1), т.е. в ряд вида

, (2.2)

где a_n – числовые коэффициенты. При этом возникают вопросы: возможно ли разложение для любой функции f(x) и как найти коэффициенты a_{n .}

Будем считать для простоты все рассматриваемые функции, а также интервал конечным. Ответ на первый вопрос зависит от выбора системы, по которой мы будем производить разложение. Если разложение возможно для любой функции f(x), то система функций называется полной [6].

Перейдем теперь к нахождению коэффициентов a_n разложения, причем будем считать, что ни одна из функций (2.1) не равна тождественно нулю. Для этого умножим обе части уравнения (2.2) на g_n(x) и проинтегрируем результат по интервалу (a<x<b).

В силу ортогональности системы (2.1), в правой части последнего равенства все интегралы равны нулю, за исключением интеграла от g_n²(x), и мы получаем формулу для коэффициентов

(n=1,