7.2.3. Вейвлет-ряды дискретного времени

В большинстве приложений работа осуществляется с дискретными сигналами. Поэтому представляют интерес дискретные аналоги НВП, которые преобразуют дискретный сигнал в непрерывный и дискретный сигналы, соответственно.

Пусть имеется некоторая непрерывная функция . Дискретный сигналпредставим как последовательность коэффициентов при масштабирующих функциях, по которым раскладывается:

, (7.10)

где .

Другими словами, сигнал интерпретируется как последовательность коэффициентов разложения, полученную в ходе кратномасштабного анализа функции . Тогда можно вычислить аппроксимацию этой функции, принадлежащие пространствам. Пространстване имеют значения при данной интерпретации.

Согласно концепции кратномасштабного анализа функция декомпозируется на две функциии:

. (7.11)

Таким образом, получили две новые последовательности и. Этот процесс может быть продолжен по, и функция(а также и последовательность) будет представлена совокупностью коэффициентов.

Рассмотрим, как вычисления ДВП могут быть выполнены с использованием операций только над дискретными сигналами. С учетом того, что масштабирующая функция образует базис соответствующего пространства, можно получить

Отсюда оказывается возможным итеративное вычисление коэффициентов ибез непосредственного использования функцийи.

.

(7.13)

получив, таким образом, полностью дискретный процесс декомпозиции. Последовательности иназываются фильтрами. Следует отметим, чтоиимеют «половинную» длину по сравнению с. За счет этого не вводится избыточности.

Обратный процесс заключается в получении изи:

Длина последовательности вдвое больше длины последовательностиили.

Для фильтров исуществуют следующие ограничения:

, (7.15)

, (7.16)

. (7.17)