7.2.1. Непрерывные вейвлет преобразования

В основе непрерывного вейвлет преобразования НВП лежит использование двух непрерывных и интегрируемых по всей оси х функций:

• вейвлет функция psi (t) с нулевым значением интеграла (), определяющая детали сигнала и порождающая детализирующие коэффициенты;

• масштабирующая или скейлинг-функция phi (t) с единичным значением интеграла (), определяющая грубое приближение сигнала и порождающая коэффициенты аппроксимации.

Phi-функции (t) присущи не всем вейвлетам, а только тем, которые являются ортогональными.

Psi-функции (t) создаются на основе той или иной базисной функции ₀(t), которая как и (t) определяет тип вейвлета. Базисная функция должна удовлетворять всем требованиям, которые были отмечены для psi-функции. Она должна обеспечивать выполнение двух основных операций:

• смещение по оси времени: ₀(t-b) при b;

• масштабирования: приa⁺-{0}.

Параметр a задаёт ширину данного вейвлета, а b – его положение:

(7.5)

Вейвлеты, обозначаемые как (t), называют материнскими вейвлетами, поскольку они порождают целый ряд вейвлетов определённого рода.

Прямое непрерывное вейвлет преобразование (ПНВП) сигнала s(t) задаётся путём вычисления вейвлет коэффициентов по формуле:

, (7.6)

где обозначение <…,…> означает скалярное произведение соответствующих множителей. C учётом ограниченной области определения сигналов и a,b, a0 формула (7.6) приобретает вид:

(7.7)

Прямое вейвлет преобразование можно рассматривать как разложение сигнала по всем возможным сдвигам и растяжением/сжатиям сигнала (t), при этом параметры a и b могут принимать любые значения в области их определения.

Обратное непрерывное вейвлет преобразование осуществляет по формуле реконструкции во временной области:

(7.8)

C_{ -} зависит только от  и определяется как:

, где - Фурье образ вейвлета.

Для выполнения прямого и обратного вейвлет преобразования нужно иметь вейвлеты на основе ортогональных базисных функций. Функция Хаара – простейший пример ортогонального вейвлета. Функция phi у него имеет значение 1 на интервале [0,1] и 0 за пределами этого интервала, а функция psi имеет вид прямоугольных импульсов: 1 на интервале [0,0.5] и -1 в интервале [0.5,1].

К другим хорошо известным ортогональным вейвлетам относятся вейвлеты Добеши.

Поскольку непрерывное вейвлет преобразование требует больших вычислительных затрат, то для практического его применения необходима его дискретизация параметром a и b. Для избежания избыточности вейвлет преобразования можно задать значения a и b на множестве Z={…,-1,0,1,…} равные:

A=2^j и b=k2^j, (7.9)

где j и k – целые числа.

Подобная дискретизация наиболее распространена, а сама сетка дискретизации называется диадической. Её важной особенностью является исключение перекрытия носителей вейвлетов, т.е. устранение избыточности вейвлет преобразования.