7. Вейвлет преобразования или разложение по всплескам

Из формулы прямого преобразования Фурье вытекает главный его недостаток: интегральная оценка всех частотных составляющих спектра вне зависимости от времени их существования. Преобразование Фурье прекрасно подходит для стационарных сигналов, но не годится для нестационарных, у которых определённые частотные компоненты существуют только в определённые промежутки времени.

Поэтому можно выделить следующие недостатки преобразования Фурье:

• неприменимость к анализу нестационарных сигналов,

• преобразование Фурье для одной заданной частоты требует знание сигнала в прошлом и будущем,

• из-за неизбежного ограничения числа гармоник или спектра – невозможно точное восстановление сигнала,

• отдельные особенности сигнала: разрывы или пики – вызывают незначительное изменение спектрального образа сигнала во всём интервале частот,

• по составу высших составляющих спектра практически невозможно оценить местоположение особенностей на временной зависимости сигнала.

Проблемы спектрального анализа ограниченных во времени сигналов частично решаются с помощью оконного преобразования Фурье [24].

Идея данного преобразования заключается в разбиении временного интервала на ряд промежутков – окон. Для каждого из окон вычисляется своё Фурье преобразование. Таким образом, можно перейти к частотно-временному представлению сигнала.

Оконное преобразование можно описать следующим образом:

, (7.1)

где w(t-b) – оконная функция, а параметр b задаёт сдвиг по временной оси.

У оконного преобразования Фурье есть ряд ограничений: выбирая окно с малой шириной по времени – получают высокое временное разрешение, но низкое частотное, и наоборот, взяв широкое временное окно, получают хорошее частотное разрешение, но малое временное.

Другим видом преобразований сигнала, не обладающих ограничениями, присущими оконному преобразованию Фурье, являются вейвлет преобразования.