8.6. Вычислительная сложность алгоритмов бпф

Рассмотрим вначале алгоритмы БПФ для с прореживанием по времени.

Такой алгоритм является итерационным и включает итераций,

причем на каждой стадии выполняется N/2 базовых операций вида (7.11), откуда нетрудно получить, что общая трудоемкость алгоритма БПФ [21]:

где q_БО - сложность базовой операции.

В свою очередь, базовая операция требует для своего выполнения 1 операцию умножения и 2 операции сложения комплексных чисел или, в пересчете на операции с действительными числами, 4 операции умножения и 4 операции сложения действительных чисел.

Для ЭВМ предыдущих поколений, где операции умножения выполнялись главным образом программным (а не аппаратным) способом, особую важность имело прежде всего сокращение числа операций умножения как наиболее длительных.

В современных ЭВМ эта задача не столь актуальна, так как длительность практически всех операций близка, особенно в специализированных процессорах.

Поэтому будем полагать, что сложность базовой операции при работе с комплексными числами равна

где q_D=q_x+q₊

Здесь и далее под q подразумевает сложность отдельной машинной команды, например, в числе тактов работы процессора, необходимой для выполнения конкретной арифметической операции. Следовательно, для БПФ сложность алгоритма можно определить как:

При обработке вектора данных длинойна каждой из M итераций выполняется по N/r базовых операций, т.е.

Однако сложность базовой операции, как это можно видеть из (8.15), составит:

q_БОr²q_k

где q_k=q_УМН+q_СЛ - для комплексных чисел, или, как и в случае , посчитаем, чтоq_k=4q_D и получим, подставив в (8.15) значения :

Втаблице 8.1 приведены значения для времени выполнения ДПФ и БПФ по различным основаниям при условии, чтоt_сл=t_умн=100нсек.

Таблица 8.1.

Поэтому с точки зрения сокращения вычислительных затрат выгодны алгоритмы БПФ по основанию 2 (или 4), причем с ростом основания r выигрыш уменьшается.