3.4. Корреляционные функции случайных процессов

Важное значение имеет анализ поведения ансамбля, т.е. совокупности реализаций случайной величины, в различные моменты времени, например, и. Для такого анализа исследуются два сечения случайного процесса. Совокупность таких сечений приводит к двумерной случайной величине:, которая описывается двумерной плотностью вероятностей. Тогда произведение видапредставляет собой вероятность того, что реализация случайного процессав момент временипопадает в бесконечно малый интервал ширинойв окрестности, а в момент времени– в интервалв окрестности:

Задание двумерной плотности вероятности позволяет определить ковариационную функцию:

Ковариационная функция случайного процессапредставляет собой статистически усреднённое произведение значений случайной функциив момент времении. При этом для каждой реализации случайного процесса произведениеявляется некоторым числом. С помощью двумерной плотности вероятности такое усреднение произведений по всему множеству реализаций описывается так:

При анализе случайных процессов часто необходимо исследовать их флуктуационную составляющую. Для этого используется корреляционная функция, которая представляет собой статистически усреднённое произведение значений центрированно случайной функции в моменты времении:

Корреляционная функция случайного процесса характеризует степень статистической связи значений для реализаций случайного процесса в моменты времени и.

Если , то тогда:

Если случайный процесс центрирован, то и тогда.

Некоррелированность и статистическая независимость

Под статистической независимостью двух случайных величин ипонимается, что плотность вероятности одной случайной величины не зависит от того, какое значение принимает другая величина. В таком случае двумерная плотность вероятности представляет собой произведение одномерных плотностей вероятностей:

,

что определяет условие статистической независимости.

При наличии статистической связи между случайными величинами статистические свойства каждой из них зависит от значения, принимаемого другой величиной.

Мерой линейной статистической связи между случайными величинами является коэффициент корреляции:

При этом . Предельные значениядостигаются, если реализации случайных величинижестко связаны линейным соотношением вида, причём знак коэффициента и определяет знак.

Отсутствие линейной статистической связи означает отсутствие коррелированности случайных величин и. При этом.

Таким образом для некоррелированных случайных величин:

Из статистической независимости следует некоррелированность двух случайных величин. Обратное неверно, т.е. некоррелированные случайные величины могут быть зависимыми.

Пример.

Случайные величины и, где– случайная величина. Очевидно, чтоиявляются статистически зависимыми, однако,.