4.1.2. Теорема Котельникова

Условие, при котором возможно восстановление сигнала без потерь, определяется из теоремы Котельникова [16,21].

Прямая формулировка теоремы Котельникова. Если сигнал имеет финитную спектральную плотность, локализованную в полосе частот, то он может быть без потерь представлен дискретными отсчётами, удовлетворяющих условию:

(4.2)

В зарубежной литературе теорему Котельникова чаще называют теоремой Найквиста или теоремой отсчётов.

Исходный сигнал в этом случае восстанавливается в следующем виде:

(4.3).

В общем случае, можно записать, что сигнал восстанавливается с помощью системы восстанавливающих функций:

В случае теоремы Котельникова восстанавливающие функции имеют вид:

Пусть сигнал имеет вид – согласно свойствам преобразования Фурье (см. раздел 2.5) для восстановления такого сигнала можно воспользоваться полосой частот ширинойи со средней частотой. В спектральной области такой полосе будут соответствовать две сдвинутые копии спектра. Восстанавливающая функция будет иметь вид:

.

Обратная формулировка теоремы Котельникова/ Если f(x) задана в ограниченной области , то ее спектрF(ν) полностью определен набором отсчетов в точках, равноотстоящих друг от друга на расстоянии .

Поясним выбор шагов дискретизации по теореме Котельникова на рис. 4.2.

Рис.4.2. Выбор шага дискретизации по теореме Котельникова

При дискретизации согласно теореме Котельникова исходная функция f(x) может быть получена по ее дискретным значениям по формуле:

причем шаг дискретизации составляет

Однако согласно теории Фурье-анализа конечной апериодической функции f(x) соответствует бесконечный спектр и наоборот, конечный спектр соответствует бесконечной исходной функции.

Поэтому для реальных сигналов условия теоремы Котельникова в строгом смысле слова не выполняются.

1. Все реальные сигналы ограничены во времени и имеют неограниченный спектр, т.е. f_в=.

2. В соответствии с рядом Котельникова восстановление осуществляется по бесконечному числу отсчетов (-  k  ).

3. Поскольку сигнал восстанавливается по бесконечному числу отсчетов функций, то его восстановление осуществляется с бесконечной задержкой во времени.

Несмотря на эти недостатки, теорема Котельникова имеет фундаментальное значение, так как позволяет определить предельные возможности дискретной передачи сигналов.

Пример.

Передается речевой сигнал в полосе частот F (от 0 до 3000 Гц). Время передачи t = 10 сек. Каждый дискретный отсчет кодируется 5 двоичными разрядами.

Определить минимальный объем памяти, требуемый для хранения информации Wзу .

T=1/2F=1/6000=0,00016 с.,

следовательно, число отсчетов на интервале t:

N=t/T=10/0,00016=60000.

Объем ЗУ: W_зу =60000  5 = 300000 бит.

На практике теорему Котельникова для выбора шага дискретизации применяют следующим образом:

1. Определяют эффективную ширину спектра f_э.

2. Вычисляют шаг дискретизации T=1/2f_э.

3. На приемной стороне восстанавливается сигнал по следующей формуле

,

где Т - длительность сигнала; t - шаг дискретизации;  =t/Т - база сигнала.

Итак, в результате дискретизации в соответствии с теоремой Котельникова от x(t) мы переходим к набору отсчетов или к вектору:

X = {x_n}; n=0, N-1.